2023-2024學年上海市徐匯區南洋模范中學高二（上）開學數學試卷

一、填空題

• 1．復數z滿足z（1+i）=2i,則Imz=

  ．
  組卷：26引用：5難度：0.8

  解析

• 2．已知cosα=-

  3

  3

  ，且π＜α＜

  3

  π

  2

  ，則tanα=

   

  ．
  組卷：202引用：5難度：0.9

  解析

• 3．已知

  向量

  a

  =

  （

  m

  +

  1

  ，-

  3

  ）

  ，

  向量

  b

  =

  （

  1

  ，

  m

  -

  1

  ）

  ，

  若

  （

  a

  +

  b

  ）

  ⊥

  （

  a

  -

  b

  ）

  ，則實數m=

  ．
  組卷：112引用：7難度：0.7

  解析

• 4．已知數列{a_n}的前n項和S_n=-2n²+3n+1，則a_n=

  ．
  組卷：222引用：5難度：0.7

  解析

• 5．設方程x²-2x+m=0的兩個根為α、β，且|α-β|=2，則實數m的值是

  ．
  組卷：89引用：7難度：0.7

  解析

• 6．已知函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

  π

  2

  ）的部分圖像如圖所示，則此函數的表達式為

  ．
  組卷：203引用：7難度：0.7

  解析

• 7．已知A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），則向量

  AB

  在

  CD

  方向上的投影為

  ．
  組卷：691引用：15難度：0.5

  解析

三、解答題

• 20．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  4

  sinxcos

  （

  x

  +

  π

  3

  ）

  +

  3

  ．
  （1）將f（x）化成

  A

  sin

  （

  ωx

  +

  φ

  ）

  +

  B

  （

  A

  ＞

  0

  ，

  ω

  ＞

  0

  ，

  |

  φ

  |

  ＜

  π

  2

  ）

  ；
  （2）求函數y=f（x）在區間

  [

  -

  π

  4

  ，

  π

  6

  ]

  上的單調減區間；
  （3）將函數y=f（x）的圖像向右移動

  π

  6

  個單位，再將所得圖像的上各點的橫坐標縮短到原來的a（0＜a＜1）倍得到y=g（x）的圖像，若y=g（x）在區間[-1，1]上至少有100個最大值，求實數a的取值范圍．
  組卷：199引用：3難度：0.5

  解析

• 21．已知數列{a_n}：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，

  k

  個

  （

  -

  1

  ）

  k

  -

  1

  k

  ,…，

  （

  -

  1

  ）

  k

  -

  1

  k

  ，即當

  （

  k

  -

  1

  ）

  k

  2

  ＜

  n

  ≤

  k

  （

  k

  +

  1

  ）

  2

  （k∈N^*）時，

  a

  n

  =

  （

  -

  1

  ）

  k

  -

  1

  k

  ，記S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^*）．
  （1）求S₂₀₂₀的值；
  （2）求當

  k

  （

  k

  +

  1

  ）

  2

  ＜

  n

  ≤

  （

  k

  +

  1

  ）

  （

  k

  +

  2

  ）

  2

  （k∈N^*），試用n、k的代數式表示S_n（n∈N^*）；
  （3）對于t∈N^*，定義集合P_t={n|S_n是a_n的整數倍，n∈N^*，且1≤n≤t}，求集合P₂₀₂₀中元素的個數．
  組卷：49引用：3難度：0.4

  解析