2022-2023學年湖南省常德一中高三（下）第十二次月考數學試卷（5月份）

一、單項選擇題（本大題每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．設集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x²-2x-3＜0}，則?_U（A∪B）=（　　）

  A．{0，1，2，3}

  B．{5}

  C．{1，2，4}

  D．{3，4，5}
  組卷：86引用：1難度：0.8

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• 2．歐拉公式e^ix=cosx+isinx（i為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉發明的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，根據歐拉公式可知，e²ⁱ表示的復數在復平面中位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：713引用：49難度：0.9

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• 3．已知數列{a_n}為等差數列，S_n為其前n項和，a₆+a₃-a₅=3，則S₇=（　　）

  A．42

  B．21

  C．7

  D．3
  組卷：540引用：9難度：0.9

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• 4．某公司計劃租地建倉庫，已知每月土地費用與倉庫到車站的距離成反比，每月貨物的運輸費用與倉庫到車站的距離成正比．經測算，若在距離車站10km處建倉庫，則每月的土地費用與運輸費用分別為2萬元和8萬元．要使兩項費用之和最小，倉庫和車站的距離為（　　）

  A．4km

  B．5km

  C．6km

  D．7km
  組卷：69引用：2難度：0.8

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• 5．“α＞

  π

  2

  ”是“α-sinα＞

  π

  2

  -1”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：110引用：5難度：0.8

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• 6．最早的測雨器記載見于南宋數學家秦九韶所著的《數書九章》（1247年）．該書第二章為“天時類”，收錄了有關降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”．其中“天池測雨”法是下雨時用一個圓臺形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時，平地的降雨量是（　　）

  A．9寸

  B．6寸

  C．4寸

  D．3寸
  組卷：131引用：6難度：0.7

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• 7．如圖，A，B是橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右頂點，P是⊙O：x²+y²=a²上不同于A，B的動點，線段PA與橢圓C交于點Q，若tan∠PBA=3tan∠QBA，則橢圓的離心率為（　　）

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 3 3

  D． 6 3
  組卷：491引用：8難度：0.6

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四、解答題（共70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）

• 21．雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左頂點為A，焦距為4，過右焦點F作垂直于實軸的直線交C于B、D兩點，且△ABD是直角三角形．
  （1）求雙曲線C的方程；
  （2）M、N是C右支上的兩動點，設直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，若k₁k₂=-2，求點A到直線MN的距離d的取值范圍．
  組卷：663引用：9難度：0.4

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• 22．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  （

  x

  +

  1

  x

  ）

  （

  x

  -

  1

  ）

  -

  （

  x

  +

  1

  ）

  lnx

  ,

  g

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  x

  ．
  （1）求f（x）的單調區間；
  （2）若存在實數m,使得方程g（x）=m有兩個不相等的實數根x₁，x₂，求證：g'（x₁）+g'（x₂）＞0．
  組卷：37引用：1難度：0.3

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