2023-2024學年上海市魯迅中學高三（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共12小題，共54.0分，其中1-6題每題4分，7-12題每題5分）

• 1．已知集合A={2，3，5}，B={1，5}，則A∪B=

  ．
  組卷：222引用：9難度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  k

  +

  1

  ）

  且

  a

  ⊥

  b

  ，求實數k=

  ．
  組卷：21引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知復數z滿足（

  z

  -2）i=1（i是虛數單位），則z=

  ．
  組卷：284引用：7難度：0.7

  解析

• 4．已知角α的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，終邊經過點P（3，4），則

  tan

  （

  π

  2

  +

  α

  ）

  =

  ．
  組卷：384引用：7難度：0.7

  解析

• 5．若關于x的二項式（2x+

  a

  x

  ）⁷的展開式中一次項的系數是-70，則a=

  ．
  組卷：313引用：7難度：0.7

  解析

• 6．已知正數a、2b的算術平均值是2，則a、b的幾何平均值的最大值為

  ．
  組卷：130引用：6難度：0.8

  解析

• 7．若某圓錐高為3，其側面積與底面積之比為2：1，則該圓錐的體積為

  ．
  組卷：178引用：7難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共5小題，共78.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 20．某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（萬元）隨投資收益x（萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
  （1）若建立函數f（x）模型制定獎勵方案，試用數學語言表述公司對獎勵函數f（x）模型的基本要求；
  （2）現有兩個獎勵函數模型：
  ①

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  150

  +

  2

  ；②f（x）=lnx-2；問這兩個函數模型是否符合公司要求，并說明理由？
  組卷：48引用：7難度：0.6

  解析

• 21．已知函數f（x）=x?sinx.
  （1）求曲線y=f（x）在點（

  π

  2

  ，f（

  π

  2

  ））處的切線方程；
  （2）當x∈（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）時，求證：f（x）≥1-cosx；
  （3）求證：當x∈（0，

  π

  2

  ）時，f（x）-

  1

  3

  tanx=0有且僅有2個實數根．
  組卷：97引用：4難度：0.2

  解析