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2023-2024學年重慶市渝北中學高三（上）質檢數學試卷（10月份）

發布：2024/9/30 2:0:2

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．已知集合A={x|x²-3x-10＜0}，B={x|2^x＜2}，則A∩B=（　　）
A．（-2，1） B．（-5，1） C．? D．{0}
組卷：103引用：5難度：0.9
解析
2．已知向量
a
=
（
-
1
，
1
）
，
b
=
（
2
，
x
）
，若
a
∥
b
，則
a
?
b
=（　　）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
組卷：204引用：3難度：0.8
解析
3．若等比數列{a_n}，前n項和S_n，且a₂a₃=2a₁，
5
4
為a₄與2a₇的等差中項，則公比q=（　　）
A．
1
3
B．
1
2
C．
-
1
2
D．
-
1
3
組卷：82引用：1難度：0.7
解析
4．“萊洛三角形”是機械學家萊洛研究發現的一種曲邊三角形，轉子發動機的設計就是利用了萊洛三角形，轉子引擎只需轉一周，各轉子便有一次進氣、壓縮、點火與排氣過程，相當于往復式引擎運轉兩周，因此具有小排氣量就能成就高動力輸出的優點．另外，由于轉子引擎的軸向運動特性，它不需要精密的曲軸平衡就可以達到非常高的運轉轉速．“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段囫弧組成的曲邊三角形（如圖所示）．設“萊洛三角形”曲邊上兩點之間的最大距離為4，則該“萊洛三角形”的面積為（　　）
A．
8
π
-
12
3
B．
8
π
-
8
3
C．
16
π
-
8
3
D．
16
π
-
4
3
組卷：102引用：5難度：0.5
解析
5．若cosα=
1
7
，cos（α+β）=-
11
14
，α∈（0，
π
2
），α+β∈（
π
2
，
π
），則β為（　　）
A．
-
π
3
B．
π
6
C．
π
3
D．
-
π
6
組卷：63引用：3難度：0.9
解析
6．在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，
BC
=
6
，D為BC上一點，AD為∠BAC的平分線，則AD=（　　）
A．2 B．
2
2
C．3 D．
3
2
組卷：104引用：2難度：0.7
解析
7．定義域為R的奇函數y=f（x）的導函數為y=f′（x），當x≠0時，
f
′
（
x
）
+
f
（
x
）
x
＞
0
，若a=f（1），
b
=
（
lo
g
3
1
9
）
f
（
lo
g
3
1
9
）
，
c
=
（
ln
1
2
）
f
（
ln
1
2
）
，則（　　）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
組卷：59引用：2難度：0.6
解析

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四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

21．已知函數
f
（
x
）
=
x
e
x
+
a
（
x
-
1
）
2
．
（1）當a=0時，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）存在極大值點，且極大值不大于
1
2
，求a的取值范圍．
組卷：70引用：8難度：0.5
解析
22．已知函數
f
（
x
）
=
ln
（
1
+
x
）
+
x
2
2
．
（1）當x∈[0，+∞）時，比較f（x）與x的大小；
（2）若函數
g
（
x
）
=
cosx
+
x
2
2
，且
f
（
e
a
2
）
=
g
（
b
）
-
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
，證明：f（b²）+1＞g（a+1）．
組卷：63引用：12難度：0.6
解析

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2023-2024學年重慶市渝北中學高三（上）質檢數學試卷（10月份）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．已知集合A={x|x2-3x-10＜0}，B={x|2x＜2}，則A∩B=（ ）

2．已知向量a=（-1，1），b=（2，x），若a∥b，則a?b=（ ）

3．若等比數列{an}，前n項和Sn，且a2a3=2a1，54為a4與2a7的等差中項，則公比q=（ ）

5．若cosα=17，cos（α+β）=-1114，α∈（0，π2），α+β∈（π2，π），則β為（ ）

6．在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D為BC上一點，AD為∠BAC的平分線，則AD=（ ）

7．定義域為R的奇函數y=f（x）的導函數為y=f′（x），當x≠0時，f′（x）+f（x）x＞0，若a=f（1），b=（log319）f（log319），c=（ln12）f（ln12），則（ ）

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

21．已知函數f（x）=xex+a（x-1）2．（1）當a=0時，求f（x）的最大值；（2）若f（x）存在極大值點，且極大值不大于12，求a的取值范圍．

22．已知函數f（x）=ln（1+x）+x22．（1）當x∈[0，+∞）時，比較f（x）與x的大小；（2）若函數g（x）=cosx+x22，且f（ea2）=g（b）-1（a＞0，b＞0），證明：f（b2）+1＞g（a+1）．

1．已知集合A={x|x²-3x-10＜0}，B={x|2^x＜2}，則A∩B=（　　）

2．已知向量
a
=
（
-
1
，
1
）
，
b
=
（
2
，
x
）
，若
a
∥
b
，則
a
?
b
=（　　）

3．若等比數列{a_n}，前n項和S_n，且a₂a₃=2a₁，
5
4
為a₄與2a₇的等差中項，則公比q=（　　）

5．若cosα=
1
7
，cos（α+β）=-
11
14
，α∈（0，
π
2
），α+β∈（
π
2
，
π
），則β為（　　）

6．在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，
BC
=
6
，D為BC上一點，AD為∠BAC的平分線，則AD=（　　）

7．定義域為R的奇函數y=f（x）的導函數為y=f′（x），當x≠0時，
f
′
（
x
）
+
f
（
x
）
x
＞
0
，若a=f（1），
b
=
（
lo
g
3
1
9
）
f
（
lo
g
3
1
9
）
，
c
=
（
ln
1
2
）
f
（
ln
1
2
）
，則（　　）

21．已知函數
f
（
x
）
=
x
e
x
+
a
（
x
-
1
）
2
．
（1）當a=0時，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）存在極大值點，且極大值不大于
1
2
，求a的取值范圍．

22．已知函數
f
（
x
）
=
ln
（
1
+
x
）
+
x
2
2
．
（1）當x∈[0，+∞）時，比較f（x）與x的大小；
（2）若函數
g
（
x
）
=
cosx
+
x
2
2
，且
f
（
e
a
2
）
=
g
（
b
）
-
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
，證明：f（b²）+1＞g（a+1）．