2004年第2屆“創新杯”全國數學邀請賽試卷（初二第2試）

一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）

• 1．最接近

  2004

  +

  2004

  的整數是（　?。?/h2>

  A．44

  B．45

  C．46

  D．47
  組卷：168難度：0.9

  解析

• 2．已知a＜b＜c,那么

  1

  a

  -

  b

  +

  1

  b

  -

  c

  +

  1

  c

  -

  a

  的值（　?。?/h2>

  A．大于0	B．等于0
  C．小于0	D．與0的大小不能確定
  組卷：86引用：1難度：0.9

  解析

• 3．若方程a|x|=x+a（a＞0且a≠±1）有兩個解，則a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．0＜a＜1	B．0＜a＜1或a＞1
  C．a＞1	D．不存在這樣的a
  組卷：175難度：0.9

  解析

• 4．命題甲：一組對邊相等，一組對角也相等的四邊形是平行四邊形；命題乙：一組對角相等，過這組對角頂點的對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形．在這兩個命題中（　?。?/h2>

  A．甲是真命題，乙是真命題

  B．甲是真命題，乙是假命題

  C．甲是假命題，乙是真命題

  D．甲是假命題，乙是假命題
  組卷：119難度：0.9

  解析

• 5．使

  n

  2

  +

  7

  n

  +

  3

  是自然數的正整數n的個數是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：250引用：1難度：0.7

  解析

• 6．某房間的地面是一個矩形，其大小為32.1米×12.3米．已鋪上了邊長為10厘米的正方形瓷磚，一只螞蟻沿地面的一條對角線爬行，它離開一個墻角后，達到相對的墻角前經過的瓷磚交匯點（一個瓷磚交匯點是指四塊瓷磚四個頂點的交匯處）的個數是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：31引用：1難度：0.3

  解析

• 7．由若干個單位立方體組成一個較大的立方體，然后把這個大立方體的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方體拆開成單位立方體，發現有45個單位立方體上任何一面都沒有漆．那么大立方體被涂過油漆的面數是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：169引用：2難度：0.3

  解析

三、解答題（共2小題，滿分50分）

• 21．已知a_i，b_i，p,q（i=1，2，…，2004）是不等于零的實數，且滿足：

  a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + … + a 2 2004 = p 2 ；

  a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + … + a 2004 b 2004 = pq ；

  b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 + … + b 2 2004 = q 2 .

  
  求證：

  a

  1

  b

  1

  =

  a

  2

  b

  2

  =

  a

  3

  b

  3

  =

  …

  =

  a

  2004

  b

  2004

  =

  p

  q

  ．
  組卷：36引用：1難度：0.6

  解析

• 22．△ABC中，AB=13，BC=14，CA=15．P是△ABC內部或邊界上的一點，P到三邊AB，BC，CA的距離分別是x,y,z.記u=x+y+z
  （1）使得u=13的點P是否存在？若存在，請找出所有滿足條件的點；若不存在，請說明理由．
  （2）使得u=12.5的點P是否存在？若存在，請找出所有滿足條件的點；若不存在，請說明理由．
  組卷：119引用：1難度：0.3

  解析