2023-2024學年河南省“頂尖計劃”高三（上）第一次聯考數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．設集合A={x|e^x＞2}，

  B

  =

  {

  x

  |

  x

  ＜

  9

  }

  ，則A∩B=（　　）

  A．{x|ln2＜x＜3}

  B．{x|ln2＜x＜81}

  C．{x|0≤x＜3}

  D．{x|x＞e2}
  組卷：70引用：6難度：0.7

  解析

• 2．若復數z=a+bi（a,b∈R）滿足

  z

  +

  z

  z

  -

  z

  =

  i

  ，則（　　）

  A．a=0

  B．b=0

  C．a+b=0

  D．a-b=0
  組卷：35引用：4難度：0.8

  解析

• 3．已知同一平面內的單位向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  滿足

  a

  +

  b

  +

  c

  2

  =

  0

  ，則|

  a

  -

  b

  |=（　　）

  A． 5 2

  B． 2

  C． 3

  D． 15 2
  組卷：34引用：5難度：0.7

  解析

• 4．漢代初年成書的《淮南萬畢術》記載：“取大鏡高悪，算水盆于下，則見四鄰矣．”這是中國古代人民利用光的反射原理的實例，體現了傳統文化中的數學智慧．光的反射原理可概述為：反射光線、入射光線和法線都在同一平面內；反射光線和入射光線分居在法線的兩側；反射角等于入射角．在平面直角坐標系xOy中，一條光線從點（-2，0）射出，經y軸反射后，反射光線所在直線與圓x²+y²-2x-2y=0相切，則反射光線所在直線的斜率為（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  組卷：55引用：2難度：0.7

  解析

• 5．設各項都為正數的無窮等差數列{a_n}的公差為d,且

  a

  2

  a

  1

  =

  2

  d

  ，則a₅的最小值為（　　）

  A． 5 2

  B． 7 2

  C． 9 2

  D． 11 2
  組卷：94引用：2難度：0.6

  解析

• 6．已知圓錐SO的軸截面為正三角形，用平行于底面的平面截圓錐SO所得到的圓錐SO₁與圓臺O₁O的體積之比為1：7，則圓錐SO₁與圓臺O₁O的表面積之比為（　　）

  A． 3 11

  B． 3 8

  C． 1 2

  D． 2 3
  組卷：51引用：4難度：0.7

  解析

• 7．已知雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為2，左、右頂點分別為A₁，A₂，右焦點為F，點P在C的右支上，且滿足PF⊥FA₂，則tan∠A₁PA₂=（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3

  D．2
  組卷：156引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

• 21．小明參加一項答題活動，需進行兩輪答題，每輪均有n（n∈N^*）道題．第一輪每道題都要作答；第二輪按次序作答，每答對一題繼續答下一題，一旦答錯或題目答完則結束答題．第一輪每道題答對得5分，否則得0分；第二輪每道題答對得20分，否則得0分．無論之前答題情況如何，小明第一輪每題答對的概率均為

  1

  3

  ．第二輪每題答對的概率均為

  2

  3

  ．設小明第一輪答題的總得分為X，第二輪答題的總得分為Y．
  （Ⅰ）若n=30，求E（X）；
  （Ⅱ）證明：當n≥24時，E（X）＞E（Y）．
  組卷：56引用：2難度：0.4

  解析

• 22．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，以F為圓心作半徑為1的圓，過F且傾斜角為

  π

  3

  的直線與拋物線E交于A，B兩點，且

  |

  AB

  |

  =

  16

  3

  ．
  （Ⅰ）求E的方程；
  （Ⅱ）設O為坐標原點，T為E上一點，過T作圓F的兩條切線，分別交E于另外兩點P，Q，直線PQ分別交x軸正半軸、y軸正半軸于M，N兩點，求△MON面積的最小值．
  組卷：78引用：2難度：0.3

  解析