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2022-2023學年湖南師大附中高三（上）月考數學試卷（四）

發布：2025/1/1 5:0:2

一、單選題

1．若a,b∈R，則“復數z=a+bi為純虛數（i是虛數單位）”是“b≠0”的（　　）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
組卷：98引用：5難度：0.8
解析
2．已知集合M={x|lg（x-2）≤0}，N={x||x-1|＜2}，則M∪N=（　　）
A．? B．（2，3） C．（-1，3] D．{0，1，2，3}
組卷：539引用：4難度：0.8
解析
3．已知曲線y=4
x
在點（1，4）處的切線的傾斜角為
α
2
，則
1
+
sinα
+
cosα
1
-
2
cos
（
α
+
π
4
）
=（　　）
A．
2
2
B．
2
2
C．
1
2
D．1
組卷：173引用：5難度：0.7
解析
4．深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點的，在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為
L
=
L
0
D
G
G
0
，其中L表示每一輪優化時使用的學習率，L₀表示初始學習率，D表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，G₀表示衰減速度．已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數至少為（　　）（參考數據：lg2≈0.3010）
A．72 B．74 C．76 D．78
組卷：427引用：17難度：0.8
解析
5．已知（x-1）⁴+2x⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+?+a₅（x+1）⁵，則a₂=（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．12
組卷：863引用：7難度：0.7
解析
6．已知函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），且對任意的x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，都有
f
（
x
2
）
-
f
（
x
1
）
x
2
-
x
1
＞2，f（1）=2020，則滿足不等式f（x-2020）＞2（x-1011）的x的取值范圍是（　　）
A．（2021，+∞） B．（2020，+∞） C．（1011，+∞） D．（1010，+∞）
組卷：589引用：10難度：0.5
解析
7．如圖所示，已知F₁和F₂分別是雙曲線
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦點，圓（x+c）²+y²=4c²與雙曲線位于x軸上方的圖像從左到右依次交于A、B兩點，如果∠AF₁F₂=120°，則∠BF₂F₁的余弦值為（　　）
A．
1
-
3
2
B．
3
-
1
2
C．
1
2
D．
3
2
組卷：120引用：2難度：0.5
解析

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四、解答題

21．設橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左右焦點F₁，F₂分別是雙曲線
x
2
4
-
y
2
=1的左右頂點，且橢圓的右頂點到雙曲線的漸近線的距離為
2
10
5
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且
OA
⊥
OB
？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在，說明理由．
組卷：142引用：4難度：0.4
解析
22．已知函數f（x）=（x+a）²+blnx,a,b∈R．
（1）若直線y=2ax是曲線y=f（x）的切線，求a²-b的最小值；
（2）設b=1，若函數f（x）有兩個極值點x₁與x₂，且x₁＜x₂，證明
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
x
1
-
x
2
＞
a
-
2
a
．
組卷：173引用：2難度：0.2
解析

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A．充要條件	B．充分不必要條件
C．必要不充分條件	D．既不充分也不必要條件

2022-2023學年湖南師大附中高三（上）月考數學試卷（四）

一、單選題

1．若a,b∈R，則“復數z=a+bi為純虛數（i是虛數單位）”是“b≠0”的（ ）

2．已知集合M={x|lg（x-2）≤0}，N={x||x-1|＜2}，則M∪N=（ ）

3．已知曲線y=4x在點（1，4）處的切線的傾斜角為α2，則1+sinα+cosα1-2cos（α+π4）=（ ）

5．已知（x-1）4+2x5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+?+a5（x+1）5，則a2=（ ）

6．已知函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），且對任意的x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，都有f（x2）-f（x1）x2-x1＞2，f（1）=2020，則滿足不等式f（x-2020）＞2（x-1011）的x的取值范圍是（ ）

7．如圖所示，已知F1和F2分別是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，圓（x+c）2+y2=4c2與雙曲線位于x軸上方的圖像從左到右依次交于A、B兩點，如果∠AF1F2=120°，則∠BF2F1的余弦值為（ ）

四、解答題

22．已知函數f（x）=（x+a）2+blnx,a,b∈R．（1）若直線y=2ax是曲線y=f（x）的切線，求a2-b的最小值；（2）設b=1，若函數f（x）有兩個極值點x1與x2，且x1＜x2，證明f（x1）-f（x2）x1-x2＞a-2a．

1．若a,b∈R，則“復數z=a+bi為純虛數（i是虛數單位）”是“b≠0”的（　　）

2．已知集合M={x|lg（x-2）≤0}，N={x||x-1|＜2}，則M∪N=（　　）

3．已知曲線y=4
x
在點（1，4）處的切線的傾斜角為
α
2
，則
1
+
sinα
+
cosα
1
-
2
cos
（
α
+
π
4
）
=（　　）

5．已知（x-1）⁴+2x⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+?+a₅（x+1）⁵，則a₂=（　　）

6．已知函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），且對任意的x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，都有
f
（
x
2
）
-
f
（
x
1
）
x
2
-
x
1
＞2，f（1）=2020，則滿足不等式f（x-2020）＞2（x-1011）的x的取值范圍是（　　）

7．如圖所示，已知F₁和F₂分別是雙曲線
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦點，圓（x+c）²+y²=4c²與雙曲線位于x軸上方的圖像從左到右依次交于A、B兩點，如果∠AF₁F₂=120°，則∠BF₂F₁的余弦值為（　　）

22．已知函數f（x）=（x+a）²+blnx,a,b∈R．
（1）若直線y=2ax是曲線y=f（x）的切線，求a²-b的最小值；
（2）設b=1，若函數f（x）有兩個極值點x₁與x₂，且x₁＜x₂，證明
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
x
1
-
x
2
＞
a
-
2
a
．