2010年新課標九年級數學競賽培訓第03講：韋達定理

一、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

• 1．已知α、β是方程x²-x-1=0的兩個實數根，則代數式α²+α（β²-2）的值為

  ．
  組卷：698引用：6難度：0.5

  解析

• 2．（1）已知x₁和x₂為一元二次方程2x²-2x+3m-1=0的兩個實根，并x₁和x₂滿足不等式

  x

  1

  x

  2

  x

  1

  +

  x

  2

  -

  4

  ＜

  1

  ，則實數m取值范圍是

  ；
  （2）已知關于x的一元二次方程8x²+（m+1）x+m-7=0有兩個負數根，那么實數m的取值范圍是

  ．
  組卷：284引用：1難度：0.5

  解析

• 3．已知α、β是關于x的方程x²+px+q=0的兩個不相等的實數根，且α³-α²β-αβ²+β³=0，求證：p=0，q＜0．
  組卷：136引用：1難度：0.5

  解析

• 4．CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程x²-6x+4=0的兩根，則△ABC的面積為

   

  ．
  組卷：366引用：16難度：0.5

  解析

• 5．已知方程x²+px+q=0的兩根均為正整數，且p+q=28，那么這個方程兩根為

   

  ．
  組卷：264引用：1難度：0.7

  解析

• 6．已知α、β是方程x²-x-1=0的兩個根，則α⁴+3β的值為

   

  ．
  組卷：360引用：5難度：0.7

  解析

• 7．△ABC的一邊為5，另外兩邊的長恰好是方程2x²-12x+m=0的兩個根，則m的取值范圍

   

  ．
  組卷：960引用：13難度：0.5

  解析

三、解答題（共9小題，滿分71分）

• 22．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，過C點作CD⊥AB，垂足為D，且AD=m,BD=n,AC²：BC²=2：1，又關于x的方程

  1

  4

  x²-2（n-1）x+m²-12=0兩實數根的差的平方小于192，求：m,n為整數時，一次函數y=mx+n的解析式．
  組卷：218引用：6難度：0.5

  解析

• 23．設a、b、c為三個不同的實數，使得方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一個相同的實數根，并且使方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0也有一個相同的實數根，試求a+b+c的值．
  組卷：357引用：1難度：0.3

  解析