2011年廣東省深圳市南聯學校九年級“數學創新與知識應用”競賽試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分）

• 1．已知非零實數a,b滿足|2a-4|+|b+2|+

  （

  a

  -

  3

  ）

  b

  2

  +4=2a,則a+b等于（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  組卷：3116引用：25難度：0.9

  解析

• 2．一個質點在第一象限及x軸、y軸上運動，在第一秒鐘，它從原點運動到（0，1），然后接著按圖中箭頭所示方向運動{即（0，0）-（0，1）-（1，1）-（1，0）…}，且每秒移動一個單位，那么第35秒時質點所在位置的坐標是（　?。?/h2>

  A．（4，0）

  B．（5，0）

  C．（0，5）

  D．（5，5）
  組卷：2542難度：0.5

  解析

• 3．因為sin30°=

  1

  2

  ，sin210°=

  -

  1

  2

  ，所以sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°；因為sin45°=

  2

  2

  ，sin225°=

  -

  2

  2

  ，所以sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°，由此猜想，推理知：一般地當α為銳角時有sin（180°+α）=-sinα，由此可知：sin240°=（　　）

  A． - 1 2

  B． - 2 2

  C． - 3 2

  D． - 3
  組卷：719引用：50難度：0.9

  解析

• 4．如圖，已知∠a的對邊OP⊥AB，直線AB的方程為

  y

  =

  -

  3

  3

  x

  +

  3

  3

  ，則cosa=（　?。?/h2>

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 2

  D． 3 3
  組卷：470引用：14難度：0.7

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三、解答題（共4小題，滿分40分）

• 13．為豐富學生的校園文化生活，振興中學舉辦了一次學生才藝比賽，三個年級都有男、女各一名選手進入決賽，初一年級選手編號為男1號、女1號，初二年級選手編號為男2號、女2號，初三年級選手編號為男3號、女3號．比賽規則是男、女各一名選手組成搭檔展示才藝．
  （1）用列舉法說明所有可能出現搭檔的結果；
  （2）求同一年級男、女選手組成搭檔的概率；
  （3）求高年級男選手與低年級女選手組成搭檔的概率．
  組卷：221引用：21難度：0.5

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• 14．閱讀理解：
  課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
  如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
  小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
  感悟：解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．
  （1）問題解決：
  受到（1）的啟發，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
  ①求證：BE+CF＞EF；
  ②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明；
  （2）問題拓展：
  如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明．
  
  組卷：2744引用：10難度：0.1

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