2022-2023學年福建省福州一中高一（下）期中數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．復數z滿足（1-i）z=i,則z的虛部是（　　）

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C． 1 2 i

  D． - 1 2 i
  組卷：88引用：4難度：0.8

  解析

• 2．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,若a：b：c=3：5：7，則三角形中的最大角的大小為（　　）

  A．150°

  B．135°

  C．90°

  D．120°
  組卷：104引用：1難度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  ,-

  2

  ）

  ，若

  a

  ∥

  b

  ，則

  a

  +

  b

  =（　　）

  A．（-2，-1）

  B．（2，1）

  C．（3，-1）

  D．（-3，1）
  組卷：477引用：16難度：0.9

  解析

• 4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,已知b=4，c=2，C=60°，則此三角形的解的情況是（　　）

  A．有一解	B．有兩解
  C．無解	D．有解但解的個數不確定
  組卷：233引用：4難度：0.8

  解析

• 5．1748年，瑞士數學家歐拉發現了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式e^ix=cosx+isinx,其中e是自然對數的底，i是虛數單位，這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，下列說法正確的是（　　）

  A．eix+1=0	B． （ 1 2 + 3 2 i ） 3 = 1
  C． cosx = e ix + e - ix 2	D． sinx = e ix + e - ix 2
  組卷：37引用：3難度：0.7

  解析

• 6．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E為AD上一點，BE⊥AC．若

  BE

  =

  λ

  BA

  +

  μ

  BC

  ，則λ+μ的值為（　　）

  A． 10 7

  B． 9 8

  C． 25 16

  D． 29 18
  組卷：68引用：1難度：0.6

  解析

• 7．在△ABC中，

  BM

  =

  1

  2

  BC

  ，

  NC

  =

  3

  5

  AC

  ，直線AM交BN于點Q，若

  BQ

  =

  λ

  BN

  ，則λ=（　　）

  A． 3 5

  B． 3 4

  C． 5 6

  D． 5 7
  組卷：133引用：1難度：0.5

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四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準備在門前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知∠AOB=

  π

  6

  ，弓形花園的弦長|AB|=2

  3

  ，記弓形花園的頂點為M，∠MAB=∠MBA=

  π

  6

  ，設∠OBA=θ．
  
  （Ⅰ）將|OA|，|OB|用含有θ的關系式表示出來；
  （Ⅱ）該山莊準備在M點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設計OA、OB的長度，才使得噴泉M與山莊O的距離的值最大？
  組卷：229引用：10難度：0.5

  解析

• 22．銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,b=2且b≠c,bccosB=4（c-1）cosC．
  （1）求證：A=2C；
  （2）將AC延長至D，使得

  3

  CD

  =

  AC

  ，記△ABD的內切圓與邊AD相切于點T，AT是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
  組卷：40引用：1難度：0.6

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