2022-2023學年上海市浦東新區華東師大二附中高二（下）月考數學試卷（3月份）

一、填空題（本大題滿分36分，本大題共有12題）

• 1．雙曲線x²-y²=1的焦距為

   

  ．
  組卷：54引用：3難度：0.7

  解析

• 2．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  π

  3

  ，則其導函數f'（x）=

  ．
  組卷：170引用：4難度：0.8

  解析

• 3．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  1

  x

  2

  的駐點為x=

  ．
  組卷：72引用：3難度：0.8

  解析

• 4．已知函數g（x）=e^-x（e是自然對數），則

  lim

  Δ

  x

  →

  0

  g

  （

  1

  +

  Δ

  x

  ）

  -

  g

  （

  1

  ）

  Δ

  x

  =

  ．
  組卷：168引用：1難度：0.9

  解析

• 5．函數g（x）=xlnx有一條斜率為2的切線，則切點的坐標為

  ．
  組卷：103引用：3難度：0.7

  解析

• 6．設f₁（x）=sinx,f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），則

  f

  2023

  （

  π

  3

  ）

  =

  ．
  組卷：81引用：2難度：0.6

  解析

• 7．如圖，棱長為1的正方體上有兩個動點分別從頂點A、C同時出發并做勻速直線運動，最后同時到達頂點B、D，則在運動的過程中，兩個動點間的最小距離為

  ．
  組卷：52引用：3難度：0.5

  解析

三、解答題（本大題滿分64分，本大題共有5題）

• 20．已知橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線l：y=-x+3與橢圓E相切于點T．
  （1）求橢圓E的離心率；
  （2）求橢圓E的標準方程及點T的坐標；
  （3）設O為坐標原點，直線l'平行于直線OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P，那么是否存在常數λ，使得|PT|²=λ|PA|?|PB|？如果存在，求出λ的值；如果不存在，請說明理由．
  組卷：505引用：4難度：0.5

  解析

• 21．如圖，已知拋物線Γ：y²=4x,過焦點F的直線交拋物線Γ于A、B兩點，點C在拋物線Γ上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且點Q在點F右側，記△AFG、△CQG的面積分別為S₁、S₂．
  （1）證明：A、B兩點的縱坐標之積為定值；
  （2）設A（t²，2t），求點Q的橫坐標（用t表示）；
  （3）求

  S

  1

  S

  2

  的最小值及此時點G的坐標．
  組卷：89引用：3難度：0.5

  解析