2023-2024學(xué)年上海交大附中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．

• 1．已知A={x|x-2＜0}，則A∩N=

  ．
  組卷：6引用：1難度：0.8

  解析

• 2．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₃=4，S₉=18，則公差d=

  ．
  組卷：124引用：1難度：0.7

  解析

• 3．復(fù)數(shù)z₁=a+4i,z₂=3+bi（a、b∈R），若它們的和z₁+z₂為實數(shù)，差z₁-z₂為純虛數(shù)，則|a+bi|=

  ．
  組卷：57引用：1難度：0.8

  解析

• 4．已知|

  a

  |=

  2

  ，|

  b

  |=1，

  a

  與

  b

  的夾角為45°，則使向量（2

  a

  -λ

  b

  ）與（λ

  a

  -3

  b

  ）的夾角是銳角的實數(shù)λ的取值范圍為

  ．
  組卷：300引用：9難度：0.5

  解析

• 5．已知f（x）=xcosx+cos（x+φ）（0＜φ＜π），函數(shù)y=f（x）的定義域為（-2π，2π）．若y=f（x）為奇函數(shù)，則y=f（x）的嚴(yán)格增區(qū)間為

  ．
  組卷：47引用：1難度：0.5

  解析

• 6．已知函數(shù) f（x）=2f′（3）x-2x²+3lnx （f′（x）是f（x） 的導(dǎo)函數(shù)），則f（1）

  ．
  組卷：137引用：1難度：0.8

  解析

• 7．有一個空心鋼球，質(zhì)量為142g,測得外直徑為5cm,則它的內(nèi)直徑是

  cm（鋼的密度為7.9g/cm³，精確到0.1cm）．
  組卷：210引用：4難度：0.5

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三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．

• 20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知E（-2，0），F(xiàn)（2，0），A（-1，0），動點P滿足|PE|-|PF|=2，動點P的軌跡記為Γ．
  （1）求曲線Γ的方程；
  （2）若點Q也在曲線Γ上，且

  FP

  =

  -

  3

  FQ

  ，求△APQ的面積；
  （3）是否存在常數(shù)λ，使得對動點P恒有∠PFA=λ∠PAE成立？請給出你的結(jié)論和理由．
  組卷：90引用：2難度：0.6

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• 21．已知f（x）=x-ln（1+x）．
  （1）求函數(shù)y=f（x）的極值；
  （2）求證：對任意正整數(shù)n,有

  1

  n

  ＞

  ln

  （

  1

  +

  1

  n

  ）

  ；
  （3）記

  S

  n

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  1

  n

  ，求整數(shù)a,使得|S₂₀₂₃₁₁-a|＜0.5．
  組卷：42引用：1難度：0.2

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