2023-2024學年黑龍江省哈爾濱九中高二（上）期中數學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題分別給出四個選項，只有一個選項符合題意）

• 1．如圖，空間四邊形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，點M在OA上，且

  OM

  =

  2

  3

  OA

  ，點N為BC中點，則

  MN

  等于（　?。?/h2>

  A． 1 2 a + 1 2 b - 1 2 c	B． - 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c	D． 2 3 a - 2 3 b - 1 2 c
  組卷：341引用：45難度：0.7

  解析

• 2．已知直線l₁：2x-ay+1=0和l₂：（a-1）x-y+a=0平行，則實數a=（　?。?/h2>

  A．-1

  B．2

  C．-1或2

  D．1
  組卷：287引用：12難度：0.7

  解析

• 3．若點P（1，1）在圓

  C

  1

  x

  2

  +

  y

  2

  +

  2

  x

  -

  m

  =

  0

  的外部，則m的取值范圍為（　?。?/h2>

  A．（-1，4）

  B．（-4，1）

  C．（-1，+∞）

  D．（-∞，4）
  組卷：219難度：0.7

  解析

• 4．已知點P是圓O：x²+y²=4上的動點，作PH⊥y軸于點H，則線段PH的中點M的軌跡方程為（　　）

  A． x 2 4 + y 2 = 1

  B． x 2 16 + y 2 = 1

  C． x 2 + y 2 16 = 1

  D． x 2 + y 2 4 = 1
  組卷：66引用：2難度：0.7

  解析

• 5．著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：

  （

  x

  -

  a

  ）

  2

  +

  （

  y

  -

  b

  ）

  2

  可以轉化為點（x,y）到點（a,b）的距離，則

  x

  2

  +

  1

  +

  x

  2

  -

  4

  x

  +

  8

  的最小值為（　　）

  A．3

  B．2 2 +1

  C．2 3

  D． 13
  組卷：150引用：2難度：0.8

  解析

• 6．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

  AC

  =

  3

  ，

  BC

  =

  3

  ，

  AB

  =

  3

  2

  ，

  A

  A

  1

  =

  4

  ，則異面直線A₁C與BC₁所成角的余弦值為（　　）

  A． - 16 25

  B． 9 25

  C． 16 25

  D． 4 5
  組卷：280引用：15難度：0.5

  解析

• 7．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  12

  =

  1

  的左、右焦點分別為F₁，F₂，點P是橢圓C上的動點，m=|PF₁|，n=|PF₂|，則

  4

  m

  +

  n

  mn

  的最小值為（　　）

  A． 9 8

  B． 5 4

  C． 20 - 3 7 9

  D． 20 + 3 7 9
  組卷：365難度：0.6

  解析

四、解答題（本大題共6題，滿分70分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程和驗算步驟）

• 21．已知A（-2，0），B（2，0），直線AM，BM相交于點M．且它們的斜率之積是3．
  （1）求點M的軌跡C的方程；
  （2）過點N（2，3）能否作一條直線m與軌跡C交于兩點P，Q，且點N是線段PQ的中點？若能，求出直線m的方程；若不能，說明理由．
  組卷：98引用：4難度：0.4

  解析

• 22．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的焦距為2，且經過點P（1，

  3

  2

  ）．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）經過橢圓右焦點F且斜率為k（k≠0）的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使|AF|?|BT|=|BF|?|AT|恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由．
  組卷：369引用：10難度：0.3

  解析