2023-2024學年浙江省杭州二中高三（上）第一次月考數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．已知集合U={x|x²-2x-3＜0}，集合A={x|log₂（x+1）＜1}，則?_UA=（　　）

  A．（-1，1）

  B．（-1，1]

  C．（1，3）

  D．[1，3）
  組卷：249引用：4難度：0.8

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• 2．設i是虛數單位，已知復數z滿足（1-i）z=1+（a-1）i（a∈R），且復數z是純虛數，則實數a=（　　）

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C．1

  D．2
  組卷：37引用：3難度：0.7

  解析

• 3．為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三一班，二班各10名同學的體溫記錄（從低到高）：
  高三一班：36.1，36.2，m,36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位：℃），
  高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n,37.1（單位：℃）
  若這兩組數據的第25百分位數、第90百分位數都分別對應相等，則n-m為（　　）

  A．0.6

  B．0.5

  C．0.4

  D．0.3
  組卷：372引用：3難度：0.8

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• 4．蘇格蘭數學家納皮爾（J．Napier,1550-1617）發明的對數及對數表（如表），為當時的天文學家處理“大數”的計算大大縮短了時間．即就是任何一個正實數N可以表示成N=a×10ⁿ（1≤a＜10，n∈Z），則lgN=n+lga（0≤lga＜1），這樣我們可以知道N的位數．已知正整數M³¹是35位數，則M的值為（　　）
  

  N	2	3	4	5	11	12	13	14	15
  lgN	0.30	0.48	0.60	0.70	1.04	1.08	1.11	1.15	1.18

  A．3

  B．12

  C．13

  D．14
  組卷：244引用：9難度：0.7

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• 5．在平面直角坐標系xOy中，已知P（3，4），長度為2的線段AB的端點分別落在x軸和y軸上，則

  PA

  ?

  PB

  的取值范圍是（　　）

  A． [ 2 ， 6 ]

  B．[3，5]

  C．[4，6]

  D．[15，35]
  組卷：189引用：4難度：0.5

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• 6．已知兩個圓錐的母線長均為6，它們的側面展開圖恰好拼成一個半圓，若它們的側面積之比是1：2，則它們的體積之和是（　　）

  A． 35 + 16 2 3 π

  B． 32 5 + 16 2 3 π

  C． 16 70 9 π

  D． （ 35 + 16 2 ） π
  組卷：72引用：2難度：0.6

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• 7．已知cos（40°-θ）+cos（40°+θ）+cos（80°-θ）=0，則tanθ=（　　）

  A． - 3

  B． - 3 3

  C． 3 3

  D． 3
  組卷：553引用：11難度：0.7

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四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

• 21．設雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點O為坐標原點，過點F的直線l與C的右支相交于A，B兩點．
  （1）當直線l與x軸垂直時，OA⊥OB，求C的離心率；
  （2）當C的焦距為2時，∠AOB恒為銳角，求C的實軸長的取值范圍．
  組卷：239引用：4難度：0.3

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• 22．已知函數f（x）=x+ksinx,其中0＜k≤1．
  （1）設函數g（x）=

  1

  2

  x²-f（x），證明：
  ①g（x）有且僅有一個極小值點；
  ②記x₀是g（x）的唯一極小值點，則g（x₀）＜-

  1

  2

  x₀；
  （2）若k=1，直線l與曲線y=f（x）相切，且有無窮多個切點，求所有符合上述條件的直線l的方程．
  組卷：184引用：2難度：0.3

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