2023-2024學年上海市黃浦區大同中學高三（上）開學數學試卷

一、填空題（本大題共12小題，滿分54分，前6小題每題4分，后6小題每題5分）

• 1．不等式|x-2|＜3的解集是

  ．
  組卷：62引用：4難度：0.8

  解析

• 2．若

  a

  =（-3，3），

  b

  =（1，2），則

  a

  ?

  b

  =

  ．
  組卷：24引用：1難度：0.9

  解析

• 3．若數列{a_n}為首項為3，公比為2的等比數列，則S₇=

  ．
  組卷：72引用：1難度：0.8

  解析

• 4．已知tanα=3，則cos2α=

  ．
  組卷：234引用：4難度：0.7

  解析

• 5．已知函數f（x）=

  2 - x ， x ＞ 0

  1 ， x ≤ 0

  ，則f（x）的值域為

  ．
  組卷：85引用：2難度：0.8

  解析

• 6．已知復數z=2+i,則|1-iz|=

  ．
  組卷：13引用：1難度：0.8

  解析

• 7．已知圓x²+y²-4x-m=0的面積為π，則m=

  ．
  組卷：1374引用：6難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題滿分78分）

• 20．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F恰為橢圓

  y

  2

  a

  2

  +x²=1（a＞1）的一個頂點，且拋物線通徑（過拋物線的焦點F且與其對稱軸垂直的弦）的長等于橢圓的兩準線間的距離．
  （1）求拋物線及橢圓的標準方程；
  （2）過點F作兩條直線l₁，l₂，且l₁，l₂的斜率之積為-1．
  ①設直線l₁交拋物線于A，B兩點，l₂交拋物線于C，D兩點，求

  1

  |

  AB

  |

  +

  1

  |

  CD

  |

  的值；
  ②設直線l₁，l₂與橢圓的另一個交點分別為M，N，求△FMN面積的最大值．
  組卷：57引用：1難度：0.4

  解析

• 21．已知函數f（x）=

  lnx

  x

  和g（x）=

  x

  e

  x

  ，它們的圖像分別為曲線C₁和C₂．
  （1）求函數f（x）的單調區間；
  （2）證明：曲線C₁和C₂有唯一交點；
  （3）設直線y=a與兩條曲線C₁、C₂共有三個不同交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標依次為x₁，x₂，x₃，求證：x₁，x₂，x₃成等比數列．
  組卷：57引用：3難度：0.3

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