2023-2024學年湖南省長沙一中高三（上）月考數學試卷（一）

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．設非空集合P、Q滿足P?Q，則（　　）

  A．?x∈Q，有x∈P	B．?x∈P，有x∈Q
  C．?x0?Q，使得x0∈P	D．?x0∈P，使得x0?Q
  組卷：41引用：9難度：0.9

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• 2．設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₁₀=20，S₂₀=10，則S₃₀=（　　）

  A．5

  B．15

  C．25

  D．35
  組卷：293引用：2難度：0.8

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• 3．已知

  tan

  θ

  2

  =

  2

  ，則cosθ=（　　）

  A． - 4 5

  B． - 3 5

  C． 3 5

  D． 4 5
  組卷：88引用：2難度：0.8

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• 4．拋物線

  x

  =

  1

  4

  y

  2

  的焦點到雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的漸近線的距離是

  2

  2

  ，則該雙曲線的離心率為（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D． 2 3 3
  組卷：253引用：5難度：0.7

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• 5．已知非零向量

  a

  ，

  b

  ，則下列命題錯誤的是（　　）

  A． | a ? b | ≤ | a | | b |

  B． | a + b | ≤ | a | + | b |

  C．與向量 a 共線的單位向量為 a | a |

  D．記 b | b | = e ，則向量 a 在向量 b 上的投影向量為 （ a ? e ） e
  組卷：165引用：2難度：0.7

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• 6．已知隨機變量X服從正態分布N（μ，σ²）有下列四個命題：
  甲：p（X＞m）=0.5；
  乙：p（X?m）=0.5；
  丙：p（m-1＜X＜m）＜p（m+1＜X＜m+2）；
  丁：p（X＞m+1）＞p（X＜m-2）．
  如果只有一個假命題，則該命題為（　　）

  A．甲

  B．乙

  C．丙

  D．丁
  組卷：81引用：1難度：0.8

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• 7．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為棱A₁D₁，DD₁的中點，過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． 3 π 8

  D． π 2
  組卷：164引用：2難度：0.5

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四、解答題（本大題共6個小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步?）

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）左焦點為F，點F到橢圓C上的點的距離最小值是1，離心率為

  1

  2

  ．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）設點P（4，0），A，B是橢圓上關于x軸對稱的兩點，PB交橢圓C于另一點E，求△AEF的內切圓半徑的范圍．
  組卷：110引用：1難度：0.5

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• 22．已知函數f（x）=e^x+a，g（x）=ln（x+1），a∈Z．
  （1）若a=-1．求證：f（x）＞g（x）；
  （2）若函數f（x）與函數g（x）存在兩條公切線，求整數a的最小值．
  組卷：77引用：2難度：0.3

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