2023-2024學年湖南省岳陽一中高三（上）開學數學試卷

一．選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

• 1．集合A={x|x²+px+q=0，x∈R}={2}，則p+q=（　?。?/h2>

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  組卷：174引用：3難度：0.8

  解析

• 2．在下列函數中，為偶函數的是（　?。?/h2>

  A．f（x）=x-cosx	B．f（x）=xcosx
  C．f（x）=ln|x|	D． f （ x ） = x
  組卷：409引用：3難度：0.7

  解析

• 3．函數f（x）=log₂x+2x-1的零點所在區間為（　?。?/h2>

  A． （ 0 ， 1 2 ）

  B． （ 1 2 ， 1 ）

  C． （ 1 ， 3 2 ）

  D． （ 3 2 ， 2 ）
  組卷：209引用：3難度：0.7

  解析

• 4．若α、β是兩個不重合的平面，
  ①若α內的兩條相交直線分別平行于β內的兩條直線，則α∥β；
  ②設α、β相交于直線l,若α內有一條直線垂直于l,則α⊥β；
  ③若α外一條直線l與α內的一條直線平行，則l∥α；
  以上說法中成立的有（　?。﹤€．

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：72引用：4難度：0.7

  解析

• 5．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  4

  2

  -

  e

  |

  x

  |

  +

  1

  在[-2，2]上的大致圖象為（　?。?/h2>

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：66引用：3難度：0.8

  解析

• 6．如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m,在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測得樓頂部M的仰角為15°，則鸛雀樓的高度約為（　?。?br />

  A．91m

  B．74m

  C．64m

  D．52m
  組卷：145引用：9難度：0.5

  解析

• 7．若正實數x、y滿足x+y=1，則

  x

  2

  x

  +

  2

  +

  y

  2

  y

  +

  1

  的最小值為（　　）

  A． 1 8

  B． 1 4

  C． 1 2

  D．1
  組卷：792引用：3難度：0.5

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四．解答題（共6小題，共70分）

• 21．已知函數f（x）=lna?xe^-x+asinx,e是自然對數的底數，若a＞0，且x=0恰為f（x）的極值點．
  （1）證明：

  1

  2

  ＜

  a

  ＜

  1

  ；
  （2）求f（x）在區間（-∞，π）上零點的個數．
  組卷：426引用：2難度：0.1

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• 22．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  ，設P是雙曲線C上任意一點，O為坐標原點，F為雙曲線右焦點，A₁，A₂為雙曲線的左右頂點．
  
  （1）已知：無論點P在右支的何處，總有|PO|＞|PF|，求

  b

  a

  的取值范圍；
  （2）設過右焦點F的直線l交雙曲線于M，N兩點，若存在直線l,使得△OMN為等邊三角形，求

  b

  2

  a

  2

  的值；
  （3）若a=2，

  b

  =

  3

  ，動點Q在雙曲線上，且與雙曲線的頂點不重合，直線QA₁和直線QA₂與直線l：x=1分別相交于點S和T，試問：是否存在定點E，使得ES⊥ET恒成立？若存在，請求出定點E的坐標；若不存在，試說明理由．
  組卷：39引用：1難度：0.3

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