2023-2024學年福建省福州一中高三（上）開學質檢數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的

• 1．已知復數

  z

  =

  6

  +

  ai

  1

  +

  2

  i

  （

  a

  ∈

  R

  ）

  是純虛數，則a的值為（　　）

  A．-12

  B．12

  C．-3

  D．3
  組卷：180引用：5難度：0.9

  解析

• 2．若集合

  A

  =

  {

  x

  |

  lo

  g

  2

  （

  x

  -

  1

  ）

  ≤

  0

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  |

  （

  2

  -

  x

  ）

  （

  x

  +

  1

  ）

  ≤

  0

  }

  ，則A∩?_RB=（　　）

  A．[0，4]

  B．（1，4）

  C．[0，2）

  D．（1，2）
  組卷：128引用：6難度：0.8

  解析

• 3．一組數據按從小到大的順序排列為1，4，4，x,7，8（x≠7），若該組數據的中位數是眾數的

  5

  4

  倍，則該組數據的60%分位數是（　　）

  A．4

  B．5

  C．6

  D．7
  組卷：83引用：2難度：0.9

  解析

• 4．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  （

  2

  x

  -

  2

  -

  x

  ）

  cosx

  x

  2

  -

  4

  的部分圖象為（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  組卷：290引用：6難度：0.7

  解析

• 5．中國古代數學家很早就對空間幾何體進行了系統的研究，中國傳世數學著作《九章算術》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式．例如在推導正四棱臺（古人稱方臺）體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進行求解．如圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．E對應的是正四棱臺中間位置的長方體；B、D、H、F對應四個三棱柱，A、C、I、G對應四個四棱錐．若這四個三棱柱的體積之和為12，四個四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺的體積為（　　）
  

  A．24

  B．28

  C．32

  D．36
  組卷：180引用：5難度：0.5

  解析

• 6．已知圓C：x²+y²=8，MN為圓C的動弦，且滿足MN=4，G為弦MN的中點．兩動點P，Q在直線l：y=x-4上，且PQ=4，MN運動時，∠PGQ始終為銳角，則線段PQ中點的橫坐標取值范圍是（　　）

  A．（-∞，0）∪（4，+∞）	B．（-∞，0）∪（8，+∞）
  C．（0，4）	D．（0，8）
  組卷：219引用：7難度：0.6

  解析

• 7．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  tan

  （

  ωx

  +

  φ

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ，

  |

  φ

  |

  ＜

  π

  2

  ）

  的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為6π，則

  f

  （

  2023

  π

  3

  ）

  =（　　）

  A． - 3 3

  B． - 3

  C． 3 3

  D． 3
  組卷：62引用：4難度：0.5

  解析

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  3

  2

  ，記E的右頂點和上頂點分別為A，B，△OAB的面積為1（O為坐標原點）．
  （1）求E的方程；
  （2）已知D（2，1），過點D的直線l₁與橢圓E交于點M，N（點M在第一象限），過點M垂直于y軸的直線l₂分別交BA，BN于PQ，求

  |

  MP

  |

  |

  PQ

  |

  的值．
  組卷：67引用：4難度：0.5

  解析

• 22．已知函數f（x）=ax-2lnx-

  a

  x

  ．
  （1）若x∈（0，1），f（x）＜0，求實數a的取值范圍；
  （2）設x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，證明：|f（x₁）-f（x₂）|＜

  4

  1

  -

  a

  2

  a

  ．
  組卷：78引用：3難度：0.5

  解析