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2023-2024學年河南省商丘市寧陵高級中學高二（上）第一次月考數學試卷

發布：2024/8/2 8:0:9

一、單選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。

1．若
a
=
（
-
1
，
x
+
1
，
x
）
，
b
=
（
2
-
x
,
0
，
3
）
，且
a
與
b
的夾角為鈍角，則x的取值范圍是（　　）
A．
（
-
∞
，
1
2
）
B．
（
1
2
，
+
∞
）
C．
（
-
∞
，-
1
）
∪
（
-
1
，
1
2
）
D．
（
1
2
，
3
）
∪
（
3
，
+
∞
）
組卷：628引用：8難度：0.7
解析
2．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，
A
A
1
=
c
，若點D為B₁C₁的中點，則
CD
=（　　）
A．
1
2
a
-
1
2
b
+
c
B．
1
2
a
+
1
2
b
+
c
C．
1
2
a
+
1
2
b
-
c
D．
a
+
1
2
b
-
1
2
c
組卷：328引用：6難度：0.7
解析
3．已知a,b是異面直線，A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2，CD=1，則a與b所成的角是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
組卷：388引用：14難度：0.7
解析
4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等邊三角形，AA₁=AB，D，E，F分別是棱AA₁，BB₁，BC的中點，則異面直線DF與C₁E所成角的余弦值是（　　）
A．
5
3
B．
5
5
C．
5
10
D．
15
5
組卷：234引用：4難度：0.6
解析
5．在三棱錐P-ABC中，M是平面ABC上一點，且5
PM
=t
PA
+2
PB
+3
MC
，則t=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．-2
組卷：454引用：5難度：0.6
解析
6．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，
A
A
1
=
c
，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
|
a
|
=
|
b
|
=
|
c
|
=
1
，則用
{
a
，
b
，
c
}
表示
A
C
1
及線段
|
A
C
1
|
的長為分別為（　　）
A．
A
C
1
=
a
+
b
+
c
，
|
A
C
1
|
=
5
B．
A
C
1
=
a
+
b
-
c
，
|
A
C
1
|
=
3
C．
A
C
1
=
a
+
b
+
c
，
|
A
C
1
|
=
5
D．
A
C
1
=
a
+
b
-
c
，
|
A
C
1
|
=
3
組卷：438引用：3難度：0.5
解析
7．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點P是四邊形A₁B₁C₁D₁的內切圓上一點，O為四邊形ABCD的中心，則
OP
?
DP
的最大值為（　　）
A．5 B．6 C．
5
+
2
D．
5
+
3
組卷：699引用：4難度：0.5
解析

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四．解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

21．如圖，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，若A₁A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，A₁C₁=1，N為AB中點，M為棱BC上一動點（不包含端點）．
（1）若M為BC的中點，求證：A₁N∥平面C₁MA；
（2）是否存在點M，使得平面C₁MA與平面ACC₁A₁所成角的余弦值為
6
6
？若存在，求出BM長度；若不存在，請說明理由．
組卷：541引用：12難度：0.5
解析
22．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）在AB上是否存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理由．
組卷：1497引用：12難度：0.5
解析

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A．（ - ∞ ， 1 2 ）	B．（ 1 2 ， + ∞ ）
C．（ - ∞ ，- 1 ） ∪ （ - 1 ， 1 2 ）	D．（ 1 2 ， 3 ） ∪ （ 3 ， + ∞ ）

A． A C 1 = a + b + c ， \| A C 1 \| = 5	B． A C 1 = a + b - c ， \| A C 1 \| = 3
C． A C 1 = a + b + c ， \| A C 1 \| = 5	D． A C 1 = a + b - c ， \| A C 1 \| = 3

2023-2024學年河南省商丘市寧陵高級中學高二（上）第一次月考數學試卷

一、單選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。

1．若a=（-1，x+1，x），b=（2-x,0，3），且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是（ ）

2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1=c，若點D為B1C1的中點，則CD=（ ）

3．已知a,b是異面直線，A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2，CD=1，則a與b所成的角是（ ）

4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，AA1=AB，D，E，F分別是棱AA1，BB1，BC的中點，則異面直線DF與C1E所成角的余弦值是（ ）

5．在三棱錐P-ABC中，M是平面ABC上一點，且5PM=tPA+2PB+3MC，則t=（ ）

6．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，|a|=|b|=|c|=1，則用{a，b，c}表示AC1及線段|AC1|的長為分別為（ ）

7．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點P是四邊形A1B1C1D1的內切圓上一點，O為四邊形ABCD的中心，則OP?DP的最大值為（ ）

四．解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

22．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．（1）求證：AC⊥BC1；（2）在AB上是否存在點D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理由．

1．若
a
=
（
-
1
，
x
+
1
，
x
）
，
b
=
（
2
-
x
,
0
，
3
）
，且
a
與
b
的夾角為鈍角，則x的取值范圍是（　　）

2．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，
A
A
1
=
c
，若點D為B₁C₁的中點，則
CD
=（　　）

3．已知a,b是異面直線，A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2，CD=1，則a與b所成的角是（　　）

4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等邊三角形，AA₁=AB，D，E，F分別是棱AA₁，BB₁，BC的中點，則異面直線DF與C₁E所成角的余弦值是（　　）

5．在三棱錐P-ABC中，M是平面ABC上一點，且5
PM
=t
PA
+2
PB
+3
MC
，則t=（　　）

6．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，
A
A
1
=
c
，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
|
a
|
=
|
b
|
=
|
c
|
=
1
，則用
{
a
，
b
，
c
}
表示
A
C
1
及線段
|
A
C
1
|
的長為分別為（　　）

7．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點P是四邊形A₁B₁C₁D₁的內切圓上一點，O為四邊形ABCD的中心，則
OP
?
DP
的最大值為（　　）

22．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）在AB上是否存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理由．