2022-2023學年福建省漳州五中高二（下）期中數學試卷

一、選擇題（共8小題，每題只有一個正確答案，每題5分，共40分）

• 1．已知集合A={x|x²≤4}，集合B={x|x＞0}，則A∪B=（　　）

  A．（-∞，-2]

  B．[-2，0）

  C．[-2，+∞）

  D．（0，2]
  組卷：386引用：6難度：0.8

  解析

• 2．復數z在復平面內對應的點為（2，1），則

  2

  i

  z

  -

  1

  =（　　）

  A．1+i

  B．1-i

  C．-1+i

  D．-1-i
  組卷：221引用：9難度：0.8

  解析

• 3．與向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  0

  ，-

  4

  ）

  共線的單位向量可以為（　　）

  A． （ - 3 5 ， 0 ，- 4 5 ）	B． （ - 4 5 ， 3 5 ， 0 ）
  C． （ - 4 5 ， 0 ， 3 5 ）	D． （ - 3 5 ， 0 ， 4 5 ）
  組卷：379引用：12難度：0.8

  解析

• 4．若單位向量

  OA

  =

  （

  m

  ,

  n

  ,

  0

  ）

  與向量

  OB

  =

  （

  1

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  的夾角等于

  π

  4

  ，則mn=（　　）

  A． 1 4

  B． - 1 4

  C． 3 4

  D． - 3 4
  組卷：233引用：3難度：0.7

  解析

• 5．已知隨機變量X服從正態分布N（1，2），則E（3X+4）與D（3X+4）的值分別為（　　）

  A．13  18

  B．13  6

  C．7  18

  D．7  6
  組卷：333引用：7難度：0.9

  解析

• 6．已知函數f（x）滿足f（x）=2f'（1）lnx+

  x

  e

  （f'（x）為f（x）的導函數），則f（e）=（　　）

  A．e-1

  B． 2 e + 1

  C．1

  D． - 2 e + 1
  組卷：223引用：4難度：0.8

  解析

• 7．已知f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=e^x+sinx,則不等式f（2x-1）＜e^π的解集是（　　）

  A． （ 1 + π 2 ， + ∞ ）	B． （ 0 ， 1 + π 2 ）
  C． （ 0 ， 1 + e π 2 ）	D． （ 1 - π 2 ， 1 + π 2 ）
  組卷：261引用：3難度：0.6

  解析

四、解答題（共6小題，第17題10分，其余每題12分，共0分）

• 21．已知函數f（x）=a（e^x-x-1）-ln（x+1）+x,a≥0．
  （1）證明：f（x）存在唯一零點；
  （2）設g（x）=ae^x+x,若存在x₁，x₂∈（-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₁）-g（x₂），證明：x₁-2x₂≥1-2ln2．
  組卷：167引用：8難度：0.5

  解析

• 22．某工廠一臺設備生產一種特定零件，工廠為了解該設備的生產情況，隨機抽檢了該設備在一個生產周期中的100件產品的關鍵指標（單位：cm），經統計得到下面的頻率分布直方圖：
  
  （1）由頻率分布直方圖估計抽檢樣本關鍵指標的平均數

  x

  和方差s²．（用每組的中點代表該組的均值）
  （2）已知這臺設備正常狀態下生產零件的關鍵指標服從正態分布N（μ，σ²），用直方圖的平均數估計值

  x

  作為μ的估計值

  ?

  μ

  ，用直方圖的標準差估計值s作為σ估計值

  ?

  σ

  ．
  （ⅰ）為了監控該設備的生產過程，每個生產周期中都要隨機抽測10個零件的關鍵指標，如果關鍵指標出現了（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認為生產過程可能出現了異常，需停止生產并檢查設備．下面是某個生產周期中抽測的10個零件的關鍵指標：
  

  0.8

  1.2

  0.95

  1.01

  1.23

  1.12

  1.33

  0.97

  1.21

  0.83

  利用

  ?

  μ

  和

  ?

  σ

  判斷該生產周期是否需停止生產并檢查設備．
  （ⅱ）若設備狀態正常，記X表示一個生產周期內抽取的10個零件關鍵指標在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件個數，求P（X≥1）及X的數學期望．
  參考公式：直方圖的方差

  s

  2

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  p

  i

  ，其中x_i為各區間的中點，p_i為各組的頻率．
  參考數據：若隨機變量X服從正態分布N（μ，σ²），則P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，

  0

  .

  011

  ≈

  0

  .

  105

  ，

  0

  .

  012

  ≈

  0

  .

  110

  ，0.9973⁹≈0.9760，0.9973¹⁰≈0.9733．
  組卷：323引用：9難度：0.6

  解析