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【母題菁解】三年高考（2022-2024）數學母題探究系列（全國通用）

精選真題詳解詳析總結方法舉一反三

瀏覽次數：1356 更新：2025年05月09日

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《舉一反三》2024-2025學年人教A版（2019）選擇性必修第三冊

新知梳理思維進階典型例題舉一反三

瀏覽次數：199 更新：2025年05月08日

41．如圖，AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的點，∠CBA=60°，∠ABD=45°，
CD
=
x
OA
+
y
BC
，則x+y=
．
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：2069引用：7難度：0.5
解析
42．如圖，軸截面為邊長是2的正方形的圓柱OO₁內有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O的直徑．∠AOC=60°
（1）求三棱柱AOC-A₁O₁C₁的體積；
（2）證明：平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C．
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：8引用：1難度：0.5
解析
43．如圖，△ABC內接于圓柱的底面圓O，AB是圓O的直徑，AB=2，BC=1，DC、EB是兩條母線，且tan∠EAB=
3
2
．
（1）求三棱錐C-ABE的體積；
（2）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一點M，使得MO∥平面ADE，證明你的結論．
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：32引用：2難度：0.3
解析
44．如圖是判斷輸入的年份x是否是閏年的程序框圖，若先后輸入x=1900，x=2400，則輸出的結果分別是（注：xMODy表示x除以y的余數）（　　）
A．1900是閏年，2400是閏年
B．1900是閏年，2400是平年
C．1900是平年，2400是閏年
D．1900是平年，2400是平年
發布：2025/1/15 8:0:2組卷：25引用：3難度：0.7
解析
45．已知函數f（x）滿足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，設無窮數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若a₁=3，從第幾項起，數列{a_n}中的項滿足a_n＜a_n+1；
（3）若1+
1
m
＜a₁＜
m
m
-
1
（m為常數且m∈N，m≠1），求最小自然數N，使得當n≥N時，總有0＜a_n＜1成立．
發布：2025/1/14 8:0:1組卷：62引用：2難度：0.5
解析
46．已知等比數列{x_n}的各項為不等于1的正數，數列{y_n}滿足
y
n
log
a
x
n
=
2
（a＞0，且a≠1），設y₃=18，y₆=12．
（1）數列{y_n}的前多少項和最大，最大值是多少？
（2）試判斷是否存在自然數M，使得n＞M時，x_n＞1恒成立，若存在，求出最小的自然數M，若不存在，請說明理由．
發布：2025/1/14 8:0:1組卷：11引用：1難度：0.1
解析
47．設x軸、y軸正方向上的單位向量分別是
i
、
j
，坐標平面上點列A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個條件：①
O
A
1
=
j
且
A
n
A
n
+
1
=
i
+
j
；②
O
B
1
=
3
i
且
B
n
B
n
+
1
=
（
2
3
）
n
×
3
i
．
（1）求
O
A
2
及
O
A
3
的坐標，并證明點A_n在直線y=x+1上；
（2）若四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，求a_n（n∈N^*）的表達式；
（3）對于（2）中的a_n，是否存在最小的自然數M，對一切n∈N^*都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．
發布：2025/1/14 8:0:1組卷：44引用：1難度：0.3
解析
48．對任意n∈N^*，3⁴ⁿ⁺²+a²ⁿ⁺¹都能被14整除，則最小的自然數a=
．
發布：2025/1/14 8:0:1組卷：65引用：5難度：0.5
解析
49．已知f_n（x）=cos（
2
nπ
3
+x）（n∈N），則使得函數f₀（x）+f₁（x）+…+f_n（x）的值域為單元素的最小自然數n=

．
發布：2025/1/14 8:0:1組卷：37引用：0難度：0.9
解析
50．在數列{a_n}中，a₁=5，a_n=qa_n-1+d（n≥2）
（1）數列{a_n}有可能是等差數列或等比數列嗎？若可能給出一個成立的條件（不必證明）；若不可能，請說明理由；
（2）若q=2，d=3，是否存在常數x,使得數列{a_n+x}為等比數列；
（3）在（2）的條件下，設數列{a_n}的前n項和為S_n，求滿足S_n≥2009的最小自然數n的值．
發布：2025/1/14 8:0:1組卷：8引用：1難度：0.5
解析

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41．如圖，AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的點，∠CBA=60°，∠ABD=45°，CD=xOA+yBC，則x+y=．

42．如圖，軸截面為邊長是2的正方形的圓柱OO1內有一個三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O的直徑．∠AOC=60°（1）求三棱柱AOC-A1O1C1的體積；（2）證明：平面AA1C1C⊥平面BB1C1C．

43．如圖，△ABC內接于圓柱的底面圓O，AB是圓O的直徑，AB=2，BC=1，DC、EB是兩條母線，且tan∠EAB=32．（1）求三棱錐C-ABE的體積；（2）證明：平面ACD⊥平面ADE；（3）在CD上是否存在一點M，使得MO∥平面ADE，證明你的結論．

44．如圖是判斷輸入的年份x是否是閏年的程序框圖，若先后輸入x=1900，x=2400，則輸出的結果分別是（注：xMODy表示x除以y的余數）（ ）

48．對任意n∈N*，34n+2+a2n+1都能被14整除，則最小的自然數a=．

49．已知fn（x）=cos（2nπ3+x）（n∈N），則使得函數f0（x）+f1（x）+…+fn（x）的值域為單元素的最小自然數n= ．

41．如圖，AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的點，∠CBA=60°，∠ABD=45°，
CD
=
x
OA
+
y
BC
，則x+y=
．

42．如圖，軸截面為邊長是2的正方形的圓柱OO₁內有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O的直徑．∠AOC=60°
（1）求三棱柱AOC-A₁O₁C₁的體積；
（2）證明：平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C．

43．如圖，△ABC內接于圓柱的底面圓O，AB是圓O的直徑，AB=2，BC=1，DC、EB是兩條母線，且tan∠EAB=
3
2
．
（1）求三棱錐C-ABE的體積；
（2）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一點M，使得MO∥平面ADE，證明你的結論．

44．如圖是判斷輸入的年份x是否是閏年的程序框圖，若先后輸入x=1900，x=2400，則輸出的結果分別是（注：xMODy表示x除以y的余數）（　　）

48．對任意n∈N^*，3⁴ⁿ⁺²+a²ⁿ⁺¹都能被14整除，則最小的自然數a=
．

49．已知f_n（x）=cos（
2
nπ
3
+x）（n∈N），則使得函數f₀（x）+f₁（x）+…+f_n（x）的值域為單元素的最小自然數n=

．