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【母題菁解】三年高考（2022-2024）數學母題探究系列（全國通用）

精選真題詳解詳析總結方法舉一反三

瀏覽次數：1356 更新：2025年05月09日

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《舉一反三》2024-2025學年人教A版（2019）選擇性必修第三冊

新知梳理思維進階典型例題舉一反三

瀏覽次數：199 更新：2025年05月08日

11．如圖，在△ABC中，AH為BC邊上的高線．P為三角形內一點，由P向三角形三邊作垂線，垂足分別為D，E，F，已知|AH|，|AC|，|BC|，|AB|依次構成公差為1的等差數列．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）求T=|PD|²+|PE|²+|PF|²的最小值．
發布：2025/1/24 8:0:2組卷：58引用：1難度：0.9
解析
12．如圖，△ABC中，D，E分別為邊BC，AC的中點，且
AD
與
BE
夾角120°，|
AD
|=1，|
BE
|=2，則
AB
?
AC
=

．
發布：2025/1/24 8:0:2組卷：61引用：1難度：0.5
解析
13．如圖，在△ABC中，
AB
=
3
6
，
∠
B
=
π
4
，D是BC邊上一點，且
∠
ADB
=
π
3
．
（1）求AD的長；
（2）若CD=10，求AC的長及△ACD的面積．
發布：2025/1/24 8:0:2組卷：324引用：7難度：0.5
解析
14．如圖，AB為圓O的直徑，點E，F在圓上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：BF⊥平面ADF；
（Ⅱ）求BF與平面ABCD所成的角；
（Ⅲ）在DB上是否存在一點M，使ME∥平面ADF？若不存在，請說明理由；若存在，請找出這一點，并證明之．
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：23引用：3難度：0.3
解析
15．AB為圓O的直徑，AC切圓O于點A，且AC=2
2
cm,過C的割線CMN交AB的延長線于D，CM=MN=ND．則AD的長等于
cm.
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：26引用：14難度：0.7
解析
16．如圖，AB是圓O的直徑，點M是
?
AB
的中點．若AB=2，則圖中陰影部分繞AB所在直線旋轉一周形成的幾何體的表面積等于
．
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：110引用：2難度：0.7
解析
17．如圖所示，AB為圓O的直徑，PC⊥平面ABC，Q在線段PA上．
（1）求證：平面BCQ⊥平面ACQ；
（2）若Q為靠近P的一個三等分點，PC=BC=1，
AC
=
2
2
，求V_P-BCQ的值．
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：37引用：3難度：0.6
解析
18．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是PB、PC上的點，AE⊥PB，AF⊥PC，給出下列結論：
①AF⊥PB；
②EF⊥PB；
③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC．
其中正確結論的序號是
．
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：69引用：6難度：0.5
解析
19．選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點F．
（Ⅰ）證明：A、E、F、M四點共圓；
（Ⅱ）證明：AC²+BF?BM=AB²．
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：98引用：9難度：0.3
解析
20．如圖AB是圓O的直徑，點C是弧AB上一點，VC垂直圓O所在平面，D，E分別為VA，VC的中點．
（1）求證：DE⊥VB；
（2）若VC=CA=6，圓O的半徑為5，求點E到平面BCD的距離．
發布：2025/1/20 8:0:1組卷：9引用：2難度：0.5
解析

11．如圖，在△ABC中，AH為BC邊上的高線．P為三角形內一點，由P向三角形三邊作垂線，垂足分別為D，E，F，已知|AH|，|AC|，|BC|，|AB|依次構成公差為1的等差數列．（Ⅰ）求△ABC的面積；（Ⅱ）求T=|PD|2+|PE|2+|PF|2的最小值．

12．如圖，△ABC中，D，E分別為邊BC，AC的中點，且AD與BE夾角120°，|AD|=1，|BE|=2，則AB?AC= ．

13．如圖，在△ABC中，AB=36，∠B=π4，D是BC邊上一點，且∠ADB=π3．（1）求AD的長；（2）若CD=10，求AC的長及△ACD的面積．

15．AB為圓O的直徑，AC切圓O于點A，且AC=22cm,過C的割線CMN交AB的延長線于D，CM=MN=ND．則AD的長等于cm.

16．如圖，AB是圓O的直徑，點M是?AB的中點．若AB=2，則圖中陰影部分繞AB所在直線旋轉一周形成的幾何體的表面積等于 ．

17．如圖所示，AB為圓O的直徑，PC⊥平面ABC，Q在線段PA上．（1）求證：平面BCQ⊥平面ACQ；（2）若Q為靠近P的一個三等分點，PC=BC=1，AC=22，求VP-BCQ的值．

18．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是PB、PC上的點，AE⊥PB，AF⊥PC，給出下列結論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正確結論的序號是 ．

19．選修4-1：幾何證明選講如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點F．（Ⅰ）證明：A、E、F、M四點共圓；（Ⅱ）證明：AC2+BF?BM=AB2．

20．如圖AB是圓O的直徑，點C是弧AB上一點，VC垂直圓O所在平面，D，E分別為VA，VC的中點．（1）求證：DE⊥VB；（2）若VC=CA=6，圓O的半徑為5，求點E到平面BCD的距離．

11．如圖，在△ABC中，AH為BC邊上的高線．P為三角形內一點，由P向三角形三邊作垂線，垂足分別為D，E，F，已知|AH|，|AC|，|BC|，|AB|依次構成公差為1的等差數列．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）求T=|PD|²+|PE|²+|PF|²的最小值．

12．如圖，△ABC中，D，E分別為邊BC，AC的中點，且
AD
與
BE
夾角120°，|
AD
|=1，|
BE
|=2，則
AB
?
AC
=

．

13．如圖，在△ABC中，
AB
=
3
6
，
∠
B
=
π
4
，D是BC邊上一點，且
∠
ADB
=
π
3
．
（1）求AD的長；
（2）若CD=10，求AC的長及△ACD的面積．

15．AB為圓O的直徑，AC切圓O于點A，且AC=2
2
cm,過C的割線CMN交AB的延長線于D，CM=MN=ND．則AD的長等于
cm.

16．如圖，AB是圓O的直徑，點M是
?
AB
的中點．若AB=2，則圖中陰影部分繞AB所在直線旋轉一周形成的幾何體的表面積等于
．

17．如圖所示，AB為圓O的直徑，PC⊥平面ABC，Q在線段PA上．
（1）求證：平面BCQ⊥平面ACQ；
（2）若Q為靠近P的一個三等分點，PC=BC=1，
AC
=
2
2
，求V_P-BCQ的值．

18．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是PB、PC上的點，AE⊥PB，AF⊥PC，給出下列結論：
①AF⊥PB；
②EF⊥PB；
③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC．
其中正確結論的序號是
．

19．選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點F．
（Ⅰ）證明：A、E、F、M四點共圓；
（Ⅱ）證明：AC²+BF?BM=AB²．

20．如圖AB是圓O的直徑，點C是弧AB上一點，VC垂直圓O所在平面，D，E分別為VA，VC的中點．
（1）求證：DE⊥VB；
（2）若VC=CA=6，圓O的半徑為5，求點E到平面BCD的距離．