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2021-2022學年河南省信陽市高三（上）開學數學試卷（理科）

發布：2025/6/29 0:0:12

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知復數z滿足
iz
=
3
2
+
1
2
i
，則z²=（　　）
A．
1
2
+
3
2
i
B．
1
2
-
3
2
i
C．
-
1
2
-
3
2
i
D．
-
1
2
+
3
2
i
組卷：143引用：4難度：0.8
解析
2．如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上的一個動點，直線AP與平面ABCD所成的角為45°，則點P的軌跡長度為?（　　）
A．
π
+
4
2
B．
4
2
π
C．
2
3
D．
3
2
+
π
組卷：459引用：4難度：0.6
解析
3．已知集合A={x∈N|x²＜8x}，B={2，3，6}，C={2，3，7}，則B∪（?_AC）=（　　）
A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6}
C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7}
組卷：59引用：5難度：0.8
解析
4．已知奇函數f（x）在[0，+∞）上的部分圖象如圖所示，則不等式f（x）≥0在[-4，4]上的解集為（　　）
A．[-4，-2]∪[1，2]∪{4} B．[-3，-2]∪[-1，0]∪[1，2]∪{-4，4}
C．[-2，-1]∪[1，2]∪{-4，4} D．[-4，-2]∪[-1，0]∪[1，2]∪{4}
組卷：15引用：1難度：0.8
解析
5．從甲、乙等6名志愿者中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為（　　）
A．
1
6
B．
1
5
C．
1
4
D．
1
3
組卷：70引用：1難度：0.7
解析
6．如圖，直線y=ax-
1
a
的圖象可能是（　　）
A． B． C． D．
組卷：74引用：10難度：0.9
解析
7．已知橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，過橢圓左焦點的直線與橢圓相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，且
FA
=
2
BF
，則橢圓的離心率為（　　）
A．
2
5
B．
2
2
C．
1
2
D．
2
3
組卷：50引用：1難度：0.6
解析
8．若x,y滿足
x
+
y
-
2
≥
0
kx
-
y
+
2
≥
0
y
≥
0
，且z=y-x的最小值為-4，則k的值為（　　）
A．2 B．-2 C．
1
2
D．-
1
2
組卷：2158引用：56難度：0.7
解析
9．已知
a
=
ln
2
2
，
b
=
1
e
（
e
為自然對數的底數），
c
=
ln
6
3
，則a,b,c的大小關系為（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
組卷：168引用：2難度：0.6
解析
10．設函數
f
（
x
）
=
2
lnx
x
，
x
＞
0
sin
（
ωx
+
π
6
）
，-
π
≤
x
≤
0
，若
y
=
f
（
x
）
-
1
2
恰有5個不同零點，則正實數ω的范圍為（　　）
A．
（
10
3
，
4
]
B．
[
10
3
，
4
）
C．
（
2
，
10
3
]
D．
[
2
，
10
3
）
組卷：62引用：3難度：0.5
解析
11．已知直線l,m和平面α，β，下列命題正確的是（　　）
A．m∥l,l∥α?m∥α
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m,l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m=M?α∥β
組卷：24引用：1難度：0.6
解析

12．為了得到函數y=sin 3x+cos 3x+1的圖象，可以將函數y=
2
sin 3x的圖象（　　）

A．向右平移

個單位，向下平移1個單位

B．向左平移

個單位，向下平移1個單位

C．向右平移

個單位，向上平移1個單位

D．向左平移

個單位，向上平移1個單位

組卷：304引用：6難度：0.7

解析

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．在△ABC中，若AB=2，∠B=
5
π
12
，∠C=
π
4
，則BC=
．
組卷：675引用：5難度：0.8
解析
14．已知直線l：y=2x-10與雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的一條漸近線平行，且經過雙曲線的一個焦點，則雙曲線的標準方程為
．
組卷：174引用：3難度：0.6
解析
15．若向量
a
=
（
1
，
m
）
，
b
=
（
2
n
,
10
）
，且
a
∥
b
，則mn=
．
組卷：14引用：2難度：0.8
解析
16．用過球心的平面將一個球分成兩個半球，則一個半球的表面積與原來整球的表面積之比為
．
組卷：25引用：3難度：0.7
解析

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。

17．在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產品中任取3件，求：
（I）取出的3件產品中一等品件數X的分布列和數學期望；
（II）取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率．
組卷：704引用：13難度：0.1
解析
18．已知函數f（x）=x³-x,g（x）=2x-3．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）求證：存在唯一的x₀，使得f（x₀）=g（x₀）．
組卷：117引用：9難度：0.3
解析
19．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為
x
=
3
+
t
y
=
5
+
3
t
（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（1）求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程；
（2）設點M的直角坐標為（
3
，5），直線l與曲線C交于A，B兩點，求
1
|
MA
|
+
1
|
MB
|
的值．
組卷：129引用：2難度：0.5
解析
20．已知數列{a_n}的首項a₁=1且滿足
4
a
n
a
n
+
1
=
a
n
-
3
a
n
+
1
（
n
∈
N
*
）
．
（1）證明：
{
1
a
n
+
2
}
是等比數列；
（2）數列{b_n}滿足
b
1
=
1
3
，
b
n
+
1
=
2
n
+
1
2
n
+
3
b
n
，記
c
n
=
2
a
n
+
1
a
n
b
n
，求數列{c_n}的前n項和T_n．
組卷：402引用：8難度：0.5
解析
21．在平面直角坐標系xOy中，F₁（-3，0），F₂（3，0），點P是平面上一點，使△PF₁F₂的周長為16．求點P的軌跡方程．
組卷：7引用：1難度：0.5
解析

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數方程]

22．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，點D是線段BC的中點．
（1）求證：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．
組卷：339引用：6難度：0.6
解析

[選修4-5：不等式選講]

23．已知a＞0，b＞0，c＞0，
1
a
3
+
1
b
3
+
1
c
3
+3abc的最小值為m.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解關于x的不等式|x+1|-2x＜m.
組卷：29引用：4難度：0.6
解析

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A．{2，3，4，5}	B．{2，3，4，5，6}
C．{1，2，3，4，5，6}	D．{1，3，4，5，6，7}

A．[-4，-2]∪[1，2]∪{4}	B．[-3，-2]∪[-1，0]∪[1，2]∪{-4，4}
C．[-2，-1]∪[1，2]∪{-4，4}	D．[-4，-2]∪[-1，0]∪[1，2]∪{4}

2021-2022學年河南省信陽市高三（上）開學數學試卷（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知復數z滿足iz=32+12i，則z2=（ ）

2．如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上的一個動點，直線AP與平面ABCD所成的角為45°，則點P的軌跡長度為?（ ）

3．已知集合A={x∈N|x2＜8x}，B={2，3，6}，C={2，3，7}，則B∪（?AC）=（ ）

4．已知奇函數f（x）在[0，+∞）上的部分圖象如圖所示，則不等式f（x）≥0在[-4，4]上的解集為（ ）

5．從甲、乙等6名志愿者中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為（ ）

6．如圖，直線y=ax-1a的圖象可能是（ ）

7．已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），過橢圓左焦點的直線與橢圓相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，且FA=2BF，則橢圓的離心率為（ ）

8．若x,y滿足x+y-2≥0kx-y+2≥0y≥0，且z=y-x的最小值為-4，則k的值為（ ）

9．已知a=ln22，b=1e（e為自然對數的底數），c=ln63，則a,b,c的大小關系為（ ）

10．設函數f（x）=2lnxx，x＞0sin（ωx+π6），-π≤x≤0，若y=f（x）-12恰有5個不同零點，則正實數ω的范圍為（ ）

11．已知直線l,m和平面α，β，下列命題正確的是（ ）

12．為了得到函數y=sin 3x+cos 3x+1的圖象，可以將函數y=2sin 3x的圖象（ ）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．在△ABC中，若AB=2，∠B=5π12，∠C=π4，則BC=．

14．已知直線l：y=2x-10與雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行，且經過雙曲線的一個焦點，則雙曲線的標準方程為 ．

15．若向量a=（1，m），b=（2n,10），且a∥b，則mn=．

16．用過球心的平面將一個球分成兩個半球，則一個半球的表面積與原來整球的表面積之比為．

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。

17．在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產品中任取3件，求：（I）取出的3件產品中一等品件數X的分布列和數學期望；（II）取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率．

18．已知函數f（x）=x3-x,g（x）=2x-3．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求函數f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅲ）求證：存在唯一的x0，使得f（x0）=g（x0）．

20．已知數列{an}的首項a1=1且滿足4anan+1=an-3an+1（n∈N*）．（1）證明：{1an+2}是等比數列；（2）數列{bn}滿足b1=13，bn+1=2n+12n+3bn，記cn=2an+1anbn，求數列{cn}的前n項和Tn．

21．在平面直角坐標系xOy中，F1（-3，0），F2（3，0），點P是平面上一點，使△PF1F2的周長為16．求點P的軌跡方程．

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數方程]

22．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=4，AB=3，BC=5，點D是線段BC的中點．（1）求證：AB⊥A1C；（2）求二面角D-CA1-A的余弦值．

[選修4-5：不等式選講]

23．已知a＞0，b＞0，c＞0，1a3+1b3+1c3+3abc的最小值為m.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）解關于x的不等式|x+1|-2x＜m.

1．已知復數z滿足
iz
=
3
2
+
1
2
i
，則z²=（　　）

2．如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上的一個動點，直線AP與平面ABCD所成的角為45°，則點P的軌跡長度為?（　　）

3．已知集合A={x∈N|x²＜8x}，B={2，3，6}，C={2，3，7}，則B∪（?_AC）=（　　）

4．已知奇函數f（x）在[0，+∞）上的部分圖象如圖所示，則不等式f（x）≥0在[-4，4]上的解集為（　　）

5．從甲、乙等6名志愿者中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為（　　）

6．如圖，直線y=ax-
1
a
的圖象可能是（　　）

7．已知橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，過橢圓左焦點的直線與橢圓相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，且
FA
=
2
BF
，則橢圓的離心率為（　　）

8．若x,y滿足
x
+
y
-
2
≥
0
kx
-
y
+
2
≥
0
y
≥
0
，且z=y-x的最小值為-4，則k的值為（　　）

9．已知
a
=
ln
2
2
，
b
=
1
e
（
e
為自然對數的底數），
c
=
ln
6
3
，則a,b,c的大小關系為（　　）

10．設函數
f
（
x
）
=
2
lnx
x
，
x
＞
0
sin
（
ωx
+
π
6
）
，-
π
≤
x
≤
0
，若
y
=
f
（
x
）
-
1
2
恰有5個不同零點，則正實數ω的范圍為（　　）

11．已知直線l,m和平面α，β，下列命題正確的是（　　）

12．為了得到函數y=sin 3x+cos 3x+1的圖象，可以將函數y=
2
sin 3x的圖象（　　）

13．在△ABC中，若AB=2，∠B=
5
π
12
，∠C=
π
4
，則BC=
．

14．已知直線l：y=2x-10與雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的一條漸近線平行，且經過雙曲線的一個焦點，則雙曲線的標準方程為
．

15．若向量
a
=
（
1
，
m
）
，
b
=
（
2
n
,
10
）
，且
a
∥
b
，則mn=
．

16．用過球心的平面將一個球分成兩個半球，則一個半球的表面積與原來整球的表面積之比為
．

17．在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產品中任取3件，求：
（I）取出的3件產品中一等品件數X的分布列和數學期望；
（II）取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率．

18．已知函數f（x）=x³-x,g（x）=2x-3．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）求證：存在唯一的x₀，使得f（x₀）=g（x₀）．

20．已知數列{a_n}的首項a₁=1且滿足
4
a
n
a
n
+
1
=
a
n
-
3
a
n
+
1
（
n
∈
N
*
）
．
（1）證明：
{
1
a
n
+
2
}
是等比數列；
（2）數列{b_n}滿足
b
1
=
1
3
，
b
n
+
1
=
2
n
+
1
2
n
+
3
b
n
，記
c
n
=
2
a
n
+
1
a
n
b
n
，求數列{c_n}的前n項和T_n．

21．在平面直角坐標系xOy中，F₁（-3，0），F₂（3，0），點P是平面上一點，使△PF₁F₂的周長為16．求點P的軌跡方程．

22．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，點D是線段BC的中點．
（1）求證：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．

23．已知a＞0，b＞0，c＞0，
1
a
3
+
1
b
3
+
1
c
3
+3abc的最小值為m.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解關于x的不等式|x+1|-2x＜m.