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人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《第一章空間向量與立體幾何》2021年單元測(cè)試卷（B卷）（1）

發(fā)布：2025/11/13 7:0:27

一、單選題

1．在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=
2
，且∠A₁AD=∠A₁AB=45°，∠DAB=60°，則|BD₁|=（　?。?/h2>
A．1 B．
2
C．
3
D．2
組卷：12引用：2難度：0.6
2．已知三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AB⊥AC，AC⊥AD，AB=AC=AD，E，F(xiàn)分別為棱CD，AB的中點(diǎn)，則直線EF與AC所成角的余弦值為（　　）
A．
1
2
B．
2
3
C．
3
3
D．
3
2
組卷：49引用：2難度：0.7
3．如圖在一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若CD=3，AC=1，BD=2，則AB的長(zhǎng)為（　?。?/h2>
A．
2
B．2 C．
6
D．6
組卷：246引用：4難度：0.6
4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=3，AB=5，AA₁=4，則異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為（　　）
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
15
5
D．
2
2
5
組卷：298引用：9難度：0.7
5．已知向量
a
=（2，-1，3），
b
=（-4，2，3），則
2
a
+
b
=（　?。?/h2>
A．（4，-2，6） B．（-8，4，6） C．（0，0，9） D．（-2，1，6）
組卷：100引用：7難度：0.7
6．已知直線l和兩個(gè)不同的平面α，β，若α⊥β，則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥β”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
組卷：80引用：5難度：0.8
7．已知四面體OABC，空間的一點(diǎn)M滿足
OM
=
1
4
OA
+
1
6
OB
+
λ
OC
，若M，A，B，C共面，則λ=（　　）
A．
7
12
B．
1
3
C．
5
12
D．
1
2
組卷：513引用：4難度：0.8
8．系統(tǒng)找不到該試題

二、多選題

9．已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都是2，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，則（　?。?/h2>
A．
AB
?
AC
=
2
B．
EF
?
FG
=
1
C．
AB
?
EG
=
0
D．
GE
?
GF
=
1
組卷：234引用：3難度：0.5

10．鉆石是金剛石精加工而成的產(chǎn)品，是世界上最堅(jiān)硬的、成分最簡(jiǎn)單的寶石，它是由碳元素組成的、具有立方結(jié)構(gòu)的天然晶體．如圖，已知某鉆石形狀的幾何體由上、下兩部分組成，上面為一個(gè)正六棱臺(tái)ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁（上、下底面均為正六邊形，側(cè)面為等腰梯形），下面為一個(gè)正六棱錐P-ABCDEF，其中正六棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，且P到平面A₁B₁C₁的距離為3，則下列說(shuō)法正確的是（　?。?br />臺(tái)體的體積計(jì)算公式：
V
=
1
3
（
S
1
+
S
2
+
S
1
S
2
）
h
，其中S₁，S₂分別為臺(tái)體的上、下底面面積，h為臺(tái)體的高．

A．若平面PAE⊥平面AFF₁A₁，則正六棱錐P-ABCDEF的高為

B．若

，則該幾何體的表面積為

C．該幾何體存在外接球，且外接球的體積

500

D．若該幾何體的上、下兩部分體積之比為7：8，則該幾何體的體積為

組卷：60引用：1難度：0.3

11．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為S_A，S_B，S_C，且
S
A
?
MA
+
S
B
?
MB
+
S
c
?
MC
=
0
．以下命題正確的有（　?。?/h2>

A．若S_A：S_B：S_C=1：1：1，則M為△ABC的重心

B．若M為△ABC的內(nèi)心，則

C．若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M為△ABC的外心，則

：

D．若M為△ABC的垂心，

，則

cos

∠

AMB

組卷：982引用：24難度：0.5

12．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P滿足
AP
=
AB
+
x
A
A
1
+
y
AD
，x∈[0，1]，y∈[0，1]，則（　?。?/h2>

A．當(dāng)x=y時(shí)，有且僅有一點(diǎn)P滿足DB₁⊥A₁P

B．若AP與平面CC₁B₁B所成角的大小為

，則x+2y的最大值為

C．當(dāng)x+y=1時(shí)，滿足到直線A₁B₁的距離與到平面ABCD的距離相等的點(diǎn)P有兩個(gè)

D．E、F分別為AA₁，AD的中點(diǎn)，若存在λ，μ∈R，使

成立，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為

組卷：45引用：3難度：0.5

三、填空題

13．已知：△ABC中，AB=AC，BD是AC上的高，且∠CBD=35°，則∠A=
．
組卷：11引用：1難度：0.8
14．已知向量
a
=
（
-
3
，
2
，
4
）
，
b
=
（
1
，-
2
，
2
）
，則
|
a
-
b
|
=
．
組卷：35引用：2難度：0.5
15．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，動(dòng)點(diǎn)E在正方體內(nèi)切球的球面上，則
EA
?
EB
的取值范圍是
．
組卷：47引用：3難度：0.6
16．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且
AM
=
m
AB
，
AN
=
n
AC
，m＞0，n＞0，則3m+5n的最小值是
．
組卷：49引用：2難度：0.6
17．已知向量
a
，
b
滿足
|
a
|
=
1
，
|
b
|
=
2
，
|
a
+
2
b
|
=
13
，則
a
?
b
=
．
組卷：22引用：2難度：0.7
18．已知正六棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為a,b（a＜b），側(cè)面和底面所圍成的二面角為60°，則它的側(cè)面積為

．
組卷：6引用：0難度：0.9

四、解答題

19．如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦；
（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．
組卷：360引用：24難度：0.1
20．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁C₁C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求證：AA₁⊥平面ABC；
（2）求平面A₁C₁B與平面B₁C₁B夾角的余弦值．
組卷：338引用：12難度：0.5
21．如圖，在三棱錐S-ABC中，面SAB⊥面ABC，AB⊥BC，△SAB為等腰直角三角形，∠ASB=90°，
2
AB=BC=2，E為線段SB上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)E為線段SB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)S），求點(diǎn)B到平面ACE的距離；
（2）線段SB上是否存在點(diǎn)E（不與點(diǎn)S、點(diǎn)B重合），使得直線BE與平面ACE的所成角的余弦值為
22
11
．若存在，請(qǐng)確定E點(diǎn)位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
組卷：55引用：2難度：0.4
22．如圖，已知AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，AB=AC=3，BC=2
5
，AA₁=
7
，BB₁=2
7
，點(diǎn)E和F分別為BC和A₁C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面A₁B₁BA；
（Ⅱ）求證：平面AEA₁⊥平面BCB₁；
（Ⅲ）求直線A₁B₁與平面BCB₁所成角的大小．
組卷：9766引用：26難度：0.3
23．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，D是棱AC的中點(diǎn)，且BB₁=4，BA=BC=2．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求直線B₁D與平面BC₁D所成的角的正弦值．
組卷：255引用：6難度：0.6

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A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
C．充要條件	D．既不充分也不必要條件

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人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《第一章 空間向量與立體幾何》2021年單元測(cè)試卷（B卷）（1）

一、單選題

1．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，且∠A1AD=∠A1AB=45°，∠DAB=60°，則|BD1|=（ ?。?/h2>

2．已知三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AB⊥AC，AC⊥AD，AB=AC=AD，E，F(xiàn)分別為棱CD，AB的中點(diǎn)，則直線EF與AC所成角的余弦值為（ ）

3．如圖在一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若CD=3，AC=1，BD=2，則AB的長(zhǎng)為（ ?。?/h2>

4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=3，AB=5，AA1=4，則異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為（ ）

5．已知向量a=（2，-1，3），b=（-4，2，3），則2a+b=（ ?。?/h2>

6．已知直線l和兩個(gè)不同的平面α，β，若α⊥β，則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥β”的（ ）

7．已知四面體OABC，空間的一點(diǎn)M滿足OM=14OA+16OB+λOC，若M，A，B，C共面，則λ=（ ）

二、多選題

9．已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都是2，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，則（ ?。?/h2>

12．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P滿足AP=AB+xAA1+yAD，x∈[0，1]，y∈[0，1]，則（ ?。?/h2>

三、填空題

13．已知：△ABC中，AB=AC，BD是AC上的高，且∠CBD=35°，則∠A=．

14．已知向量a=（-3，2，4），b=（1，-2，2），則|a-b|=．

15．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)E在正方體內(nèi)切球的球面上，則EA?EB的取值范圍是 ．

16．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且AM=mAB，AN=nAC，m＞0，n＞0，則3m+5n的最小值是 ．

17．已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|a+2b|=13，則a?b=．

18．已知正六棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為a,b（a＜b），側(cè)面和底面所圍成的二面角為60°，則它的側(cè)面積為 ．

四、解答題

19．如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2．（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦；（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

20．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（1）求證：AA1⊥平面ABC；（2）求平面A1C1B與平面B1C1B夾角的余弦值．

22．如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求證：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小．

23．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D是棱AC的中點(diǎn)，且BB1=4，BA=BC=2．（1）求證：AB1∥平面BC1D；（2）求直線B1D與平面BC1D所成的角的正弦值．

人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《第一章空間向量與立體幾何》2021年單元測(cè)試卷（B卷）（1）

1．在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=
2
，且∠A₁AD=∠A₁AB=45°，∠DAB=60°，則|BD₁|=（　?。?/h2>

2．已知三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AB⊥AC，AC⊥AD，AB=AC=AD，E，F(xiàn)分別為棱CD，AB的中點(diǎn)，則直線EF與AC所成角的余弦值為（　　）

3．如圖在一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若CD=3，AC=1，BD=2，則AB的長(zhǎng)為（　?。?/h2>

4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=3，AB=5，AA₁=4，則異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為（　　）

5．已知向量
a
=（2，-1，3），
b
=（-4，2，3），則
2
a
+
b
=（　?。?/h2>

6．已知直線l和兩個(gè)不同的平面α，β，若α⊥β，則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥β”的（　　）

7．已知四面體OABC，空間的一點(diǎn)M滿足
OM
=
1
4
OA
+
1
6
OB
+
λ
OC
，若M，A，B，C共面，則λ=（　　）

二、多選題

9．已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都是2，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，則（　?。?/h2>

12．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P滿足
AP
=
AB
+
x
A
A
1
+
y
AD
，x∈[0，1]，y∈[0，1]，則（　?。?/h2>

三、填空題

13．已知：△ABC中，AB=AC，BD是AC上的高，且∠CBD=35°，則∠A=
．

14．已知向量
a
=
（
-
3
，
2
，
4
）
，
b
=
（
1
，-
2
，
2
）
，則
|
a
-
b
|
=
．

15．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，動(dòng)點(diǎn)E在正方體內(nèi)切球的球面上，則
EA
?
EB
的取值范圍是
．

16．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且
AM
=
m
AB
，
AN
=
n
AC
，m＞0，n＞0，則3m+5n的最小值是
．

17．已知向量
a
，
b
滿足
|
a
|
=
1
，
|
b
|
=
2
，
|
a
+
2
b
|
=
13
，則
a
?
b
=
．

18．已知正六棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為a,b（a＜b），側(cè)面和底面所圍成的二面角為60°，則它的側(cè)面積為

．

四、解答題

19．如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦；
（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

20．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁C₁C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求證：AA₁⊥平面ABC；
（2）求平面A₁C₁B與平面B₁C₁B夾角的余弦值．

23．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，D是棱AC的中點(diǎn)，且BB₁=4，BA=BC=2．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求直線B₁D與平面BC₁D所成的角的正弦值．