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2020年吉林省通化市梅河口五中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（4月份）

發(fā)布：2025/11/13 14:0:30

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=-2i（其中i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)是（　?。?/h2>
A．1-i B．1+i C．-1-i D．-1+i
組卷：264引用：8難度：0.9
2．甲乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天產(chǎn)品的次品數(shù)的莖葉圖如圖所示，下列判斷錯(cuò)誤的是（　　）
A．甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)
B．甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù)
C．甲的方差大于乙的方差
D．甲的性能優(yōu)于乙的性能
組卷：108引用：1難度：0.8
3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.若
A
=
2
π
3
，bc=3，且
b
+
c
=
5
2
a
，則a=（　?。?/h2>
A．
2
3
B．
3
3
C．
2
2
D．
3
2
組卷：406引用：2難度：0.7
4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a,b,c,若a=4，
b
=
4
3
，
A
=
π
6
，則角B的大小為（　?。?/h2>
A．
π
3
B．
π
3
或
2
π
3
C．
2
π
3
D．
π
6
組卷：1473引用：10難度：0.9
5．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a,b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線C與圓x²+y²=r²的一個(gè)交點(diǎn)為P，若
|
P
F
1
|
+
|
P
F
2
|
r
的最大值為4
2
，則雙曲線的離心率e為（　　）
A．
2
B．
3
C．2
2
D．2
3
組卷：110引用：2難度：0.5
6．點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足
PA
+
2
PB
+
3
PC
=
0
，則S_△ABC：S_△APC為（　?。?/h2>
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．5：3
組卷：193引用：1難度：0.6
7．政治書(shū)上講，“有使用價(jià)值的東西不一定有價(jià)值，有價(jià)值的東西一定有使用價(jià)值”，如果把有使用價(jià)值的東西看作集合A，把有價(jià)值的東西看作集合B，那么它們的關(guān)系是（　?。?/h2>
A．A∪B=A B．A∪B=B C．A∩B=A D．A=B
組卷：44引用：3難度：0.9
8．已知ξ服從正態(tài)分布N（2，σ²），a∈R，當(dāng)P（ξ＞a）=0.5時(shí)，關(guān)于x的二項(xiàng)式
（
ax
+
1
x
2
）
3
的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（　　）
A．1 B．4 C．6 D．12
組卷：80引用：2難度：0.7
9．1927年德國(guó)漢堡大學(xué)的學(xué)生考拉茲提出一個(gè)猜想：對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，對(duì)它乘3加1，如果它是偶數(shù)，對(duì)它除以2，這樣循環(huán)，最終結(jié)果都能得到1．有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為“該猜想任何程度的解決都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步，將開(kāi)辟全新的領(lǐng)域”，這大概與其蘊(yùn)含的“奇偶?xì)w一”思想有關(guān)．如圖是根據(jù)考拉茲猜想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出i的值為（　?。?/h2>
A．8 B．7 C．6 D．5
組卷：84引用：8難度：0.9
10．若
f
（
x
）
=
x
2
，
x
≥
0
-
x
,
x
＜
0
，則f[f（-3）]=（　?。?/h2>
A．3 B．9 C．27 D．81
組卷：4引用：1難度：0.8
11．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3．將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小為θ的二面角B-AC-D，則折疊后形成的四面體ABCD的外接球的表面積是（　　）
A．9π B．16π
C．25π D．與θ的大小有關(guān)
組卷：391引用：8難度：0.5
12．系統(tǒng)找不到該試題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．若球O被平面α所截得的截面圓的面積為πcm²，且球心O到平面α的距離為
14
cm,則球O的表面積為
cm²．
組卷：3引用：2難度：0.7
14．下列說(shuō)法正確的序號(hào)為
．
①cos15°cos105°-sin15°sin105°=-
1
2
；
②已知cosα+cosβ=
3
5
，sinα+sinβ=
4
5
，則cos（α-β）=
-
26
25
；
③cos75°cos15°+sin75°sin15°=
1
2
．
組卷：5引用：1難度：0.7
15．下面幾種推理
①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；
③由f（x）=sinx,滿足f（-x）=-f（x），x∈R，推出f（x）=sinx是奇函數(shù)；
④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是（n-2）?180°．
是合情推理的是
．
組卷：2引用：3難度：0.6
16．設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）在橢圓
x
2
8
+
y
2
2
=
1
上，點(diǎn)Q（x₂，y₂）在直線x+2y-8=0上，則|x₂-x₁|+|y₂-y₁|的最小值為
．
組卷：651引用：4難度：0.3

三、共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:60分。

17．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²=
16
1
+
3
co
s
2
θ
．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C與x軸正半軸及y軸正半軸交于點(diǎn)M，N，在第一象限內(nèi)曲線C上任取一點(diǎn)P，求四邊形OMPN面積的最大值．
組卷：155引用：4難度：0.5
18．設(shè)函數(shù)f（x）=xe^kx+a,f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)k=-1時(shí)，
①若函數(shù)f（x）的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；
②若存在實(shí)數(shù)x＞0，使得不等式f（x）≥x-lnx成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)k=1時(shí)，設(shè)g（x）=f′（x），若g（x₁）=g（x₂），其中x₁≠x₂，證明：x₁x₂＞4．
組卷：115引用：2難度：0.3

19．為了促進(jìn)健康保險(xiǎn)的發(fā)展，規(guī)范健康保險(xiǎn)的經(jīng)營(yíng)行為，保護(hù)健康保險(xiǎn)活動(dòng)當(dāng)事人的合法權(quán)益，提升人民群眾健康保障水平，我國(guó)制定了《健康保險(xiǎn)管理辦法》．為了解某一地區(qū)中年居民（年齡在40～55歲）購(gòu)買健康保險(xiǎn)的情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到健康保險(xiǎn)購(gòu)買量
?
y
（單位：萬(wàn)單）關(guān)于x（年份）的線性回歸方程為
?
y
=
4
.
7
x
-
9459
.
2
，且購(gòu)買量
?
y
的方差為
S
2
y
=
254
5
，年份x的方差為
S
2
x
=
2
．
（1）求
?
y
與x的相關(guān)系數(shù)r,并據(jù)此判斷健康保險(xiǎn)購(gòu)買量
?
y
與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱；
（2）該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位居民的性別與是否購(gòu)買健康保險(xiǎn)的情況，得到的數(shù)據(jù)如表：

性別沒(méi)有購(gòu)買健康保險(xiǎn) 購(gòu)買健康保險(xiǎn) 總計(jì)

男性 39 6 45

女性 30 15 45

總計(jì) 69 21 90

依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買健康保險(xiǎn)與居民性別有關(guān)；
（3）在上述購(gòu)買健康保險(xiǎn)的居民中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：（?。┚€性回歸方程：
?
y
=
?
b
x
+
?
a
，其中
?
b
=
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
（
y
i
-
y
）
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
2
，
?
a
=
y
-
?
b
x
；
（ⅱ）相關(guān)系數(shù)：
r
=
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
（
y
i
-
y
）
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
2
?
n
∑
i
=
1
（
y
i
-
y
）
2
，若r＞0.9，則可判斷y與x線性相關(guān)較強(qiáng)．
（ⅲ）
χ
2
=
n
（
ad
-
bc
）
2
（
a
+
b
）
（
c
+
d
）
（
a
+
c
）
（
b
+
d
）
，其中n=a+b+c+d.
附表：

α 0.10 0.05 0.010 0.001

x_α 2.706 3.841 6.635 10.828

組卷：19引用：2難度：0.5

20．已知函數(shù)f（x）=|x+1|．
（1）求不等式f（x）-2f（x-3）＜x的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x+3）+f（x-a）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
組卷：9引用：2難度：0.5
21．已知F是拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足
PQ
=
2
QF
，點(diǎn)Q的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，|MN|=4，求直線l的方程．
組卷：119引用：4難度：0.6

（二）選考題：10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)．[選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

22．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且對(duì)任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列，其公比為q_k．
（1）若q_k=2（k∈N^*），求a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1；
（2）若對(duì)任意的k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，其公差為d_k，設(shè)b_k=
1
q
k
-
1
．
①求證：{b_k}成等差數(shù)列，并指出其公差；
②若d₁=2，試求數(shù)列{d_k}的前k項(xiàng)的和D_k．
組卷：226引用：12難度：0.5

[選修4-5：不等式選講]（10分）

23．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是長(zhǎng)方形，SA⊥底面ABCD，
SA
=
2
，AD=1，3CE=CD，SC⊥BE．
（1）證明：平面SBE⊥平面SAC；
（2）求直線SB與平面SCD所成角的正弦值．
組卷：70引用：1難度：0.4

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性別	沒(méi)有購(gòu)買健康保險(xiǎn)	購(gòu)買健康保險(xiǎn)	總計(jì)
男性	39	6	45
女性	30	15	45
總計(jì)	69	21	90

A．9π	B．16π
C．25π	D．與θ的大小有關(guān)

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2020年吉林省通化市梅河口五中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（4月份）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=-2i（其中i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)是（ ?。?/h2>

2．甲乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天產(chǎn)品的次品數(shù)的莖葉圖如圖所示，下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.若A=2π3，bc=3，且b+c=52a，則a=（ ?。?/h2>

4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a,b,c,若a=4，b=43，A=π6，則角B的大小為（ ?。?/h2>

5．設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a,b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線C與圓x2+y2=r2的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF1|+|PF2|r的最大值為42，則雙曲線的離心率e為（ ）

6．點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足PA+2PB+3PC=0，則S△ABC：S△APC為（ ?。?/h2>

7．政治書(shū)上講，“有使用價(jià)值的東西不一定有價(jià)值，有價(jià)值的東西一定有使用價(jià)值”，如果把有使用價(jià)值的東西看作集合A，把有價(jià)值的東西看作集合B，那么它們的關(guān)系是（ ?。?/h2>

8．已知ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），a∈R，當(dāng)P（ξ＞a）=0.5時(shí)，關(guān)于x的二項(xiàng)式（ax+1x2）3的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）

10．若f（x）=x2，x≥0-x,x＜0，則f[f（-3）]=（ ?。?/h2>

11．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3．將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小為θ的二面角B-AC-D，則折疊后形成的四面體ABCD的外接球的表面積是（ ）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．若球O被平面α所截得的截面圓的面積為πcm2，且球心O到平面α的距離為14cm,則球O的表面積為 cm2．

14．下列說(shuō)法正確的序號(hào)為 ．①cos15°cos105°-sin15°sin105°=-12；②已知cosα+cosβ=35，sinα+sinβ=45，則cos（α-β）=-2625；③cos75°cos15°+sin75°sin15°=12．

16．設(shè)點(diǎn)P（x1，y1）在橢圓x28+y22=1上，點(diǎn)Q（x2，y2）在直線x+2y-8=0上，則|x2-x1|+|y2-y1|的最小值為 ．

三、共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:60分。

20．已知函數(shù)f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）-2f（x-3）＜x的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f（x+3）+f（x-a）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

21．已知F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足PQ=2QF，點(diǎn)Q的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，|MN|=4，求直線l的方程．

（二）選考題：10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)．[選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

[選修4-5：不等式選講]（10分）

23．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是長(zhǎng)方形，SA⊥底面ABCD，SA=2，AD=1，3CE=CD，SC⊥BE．（1）證明：平面SBE⊥平面SAC；（2）求直線SB與平面SCD所成角的正弦值．

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=-2i（其中i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)是（　?。?/h2>

2．甲乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天產(chǎn)品的次品數(shù)的莖葉圖如圖所示，下列判斷錯(cuò)誤的是（　　）

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.若
A
=
2
π
3
，bc=3，且
b
+
c
=
5
2
a
，則a=（　?。?/h2>

4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a,b,c,若a=4，
b
=
4
3
，
A
=
π
6
，則角B的大小為（　?。?/h2>

5．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a,b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線C與圓x²+y²=r²的一個(gè)交點(diǎn)為P，若
|
P
F
1
|
+
|
P
F
2
|
r
的最大值為4
2
，則雙曲線的離心率e為（　　）

6．點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足
PA
+
2
PB
+
3
PC
=
0
，則S_△ABC：S_△APC為（　?。?/h2>

7．政治書(shū)上講，“有使用價(jià)值的東西不一定有價(jià)值，有價(jià)值的東西一定有使用價(jià)值”，如果把有使用價(jià)值的東西看作集合A，把有價(jià)值的東西看作集合B，那么它們的關(guān)系是（　?。?/h2>

8．已知ξ服從正態(tài)分布N（2，σ²），a∈R，當(dāng)P（ξ＞a）=0.5時(shí)，關(guān)于x的二項(xiàng)式
（
ax
+
1
x
2
）
3
的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（　　）

10．若
f
（
x
）
=
x
2
，
x
≥
0
-
x
,
x
＜
0
，則f[f（-3）]=（　?。?/h2>

11．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3．將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小為θ的二面角B-AC-D，則折疊后形成的四面體ABCD的外接球的表面積是（　　）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．若球O被平面α所截得的截面圓的面積為πcm²，且球心O到平面α的距離為
14
cm,則球O的表面積為
cm²．

14．下列說(shuō)法正確的序號(hào)為
．
①cos15°cos105°-sin15°sin105°=-
1
2
；
②已知cosα+cosβ=
3
5
，sinα+sinβ=
4
5
，則cos（α-β）=
-
26
25
；
③cos75°cos15°+sin75°sin15°=
1
2
．

16．設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）在橢圓
x
2
8
+
y
2
2
=
1
上，點(diǎn)Q（x₂，y₂）在直線x+2y-8=0上，則|x₂-x₁|+|y₂-y₁|的最小值為
．

三、共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:60分。

20．已知函數(shù)f（x）=|x+1|．
（1）求不等式f（x）-2f（x-3）＜x的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x+3）+f（x-a）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

21．已知F是拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足
PQ
=
2
QF
，點(diǎn)Q的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，|MN|=4，求直線l的方程．

（二）選考題：10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)．[選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

23．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是長(zhǎng)方形，SA⊥底面ABCD，
SA
=
2
，AD=1，3CE=CD，SC⊥BE．
（1）證明：平面SBE⊥平面SAC；
（2）求直線SB與平面SCD所成角的正弦值．