2024年東北三省四城市聯考暨遼寧省沈陽市高考數學質檢試卷（二）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．中國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”．如圖，一位古人在從右到左依次排列的繩子上打結，滿五進一，用來記錄捕魚條數，由圖可知，這位古人共捕魚（　?。?/h2>

  A．89條

  B．113條

  C．324條

  D．445條
  組卷：82引用：2難度：0.7

  解析

• 2．已知某同學在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時答對的概率為

  2

  3

  ，在A題答對的情況下，B題也答對的概率為

  8

  9

  ，則A題答對的概率為（　?。?/h2>

  A． 1 4

  B． 3 4

  C． 1 2

  D． 7 9
  組卷：594引用：4難度：0.7

  解析

• 3．已知平面向量

  a

  =

  （

  1

  ，-

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  m

  ）

  ．若

  （

  a

  +

  b

  ）

  ⊥

  （

  a

  -

  b

  ）

  ，則m=（　?。?/h2>

  A．-1

  B．0

  C． 2 3

  D． - 2 3
  組卷：218引用：4難度：0.7

  解析

• 4．在

  （

  x

  -

  2

  x

  ）

  4

  的展開式中，常數項為（　　）

  A．-24

  B．24

  C．-48

  D．48
  組卷：383引用：8難度：0.7

  解析

• 5．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）經過點M（x₀，3），點M到拋物線C的焦點F的距離為3，則拋物線C的準線方程為（　　）

  A． x = - 3 2

  B．x=-3

  C．x=-1

  D．x=-2
  組卷：184引用：4難度：0.7

  解析

• 6．已知函數f（x）=x³+3x²+3x-1，若f'（x）的最小值為m,其中f'（x）是函數f（x）的導函數，則f（x）在x=m處的切線方程是（　　）

  A．12x-y-6=0

  B．3x-y-1=0

  C．x+y+3=0

  D．y+2=0
  組卷：47引用：4難度：0.6

  解析

• 7．已知集合A={-1，0，1}，B={y|y=|x+1|，x∈A}，則A∩B=（　　）

  A．{-1，0}

  B．{0，1}

  C．{-1，1}

  D．{-1，0，1}
  組卷：74引用：6難度：0.8

  解析

• 8．若a、b是空間中兩條不同的直線，則a∥b的充分條件是（　?。?/h2>

  A．直線a、b都垂直于直線l

  B．直線a、b都垂直于平面α

  C．直線a、b都與直線l成30°角

  D．直線a、b都與平面α成60°角
  組卷：129難度：0.6

  解析

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

• 9．若復數z=2-i,則下列說法正確的是（　?。?/h2>

  A．z-2為純虛數

  B．方程x2-4x+5=0的兩個復數根分別為z, z

  C．z在復平面內對應的點位于第二象限

  D．z在復平面內對應的點在以原點為圓心， 5 為半徑的圓上
  組卷：78難度：0.7

  解析

• 10．在如圖所示的三棱錐O-ABC中，OA=OB=OC，并且OA，OB，OC兩兩互相垂直，則下列結論正確的是（　　）

  A．直線AB與平面OBC所成的角為30°

  B．二面角O-BC-A的正切值為 2

  C．P為線段AC的中點，直線OP與BC所成的角為45°

  D．作OM⊥平面ABC，垂足為M，則M為△ABC的重心
  組卷：321引用：2難度：0.5

  解析

• 11．已知數列{a_n}的前5項依次如圖所示，則{a_n}的通項公式可能為（　?。?/h2>

  A．an=sin πn 2	B．an=|n-3|-1
  C．an= - n + 2 ， 1 ≤ n ≤ 3 n - 4 ， n ≥ 4	D．an=（n-3）2-1
  組卷：31引用：2難度：0.8

  解析

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，其中14小題第一空2分，第二空3分，共15分．

• 12．若數列{a_n}滿足a₁=a₂=1，a_n=a_n-1+a_n-2（n≥3），則稱該數列為斐波那契數列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據斐波那契數列畫出來的曲線．圖中的長方形由以斐波那契數為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為90°的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”．記以a_n為邊長的正方形中的扇形面積為b_n，數列{b_n}的前n項和為S_n.給出下列結論：
  ①a₈=21；
  ②a₂₀₂₃是奇數；
  ③a₂+a₄+a₆+?+a₂₀₂₂=a₂₀₂₃；
  ④

  S

  2023

  a

  2023

  ?

  a

  2024

  =

  π

  4

  ．
  則所有正確結論的序號是

  ．
  組卷：170難度：0.5

  解析

• 13．定義：[x]（x∈R）表示不超過x的最大整數．例如[1.5]=1，[-0.5]=-1．給出下列結論：
  ①函數y=[sinx]是周期為2π的周期函數；
  ②函數y=[sinx]是奇函數；
  ③函數y=[sinx]的值域是{-1，0，1}；
  ④函數y=[sinx]-cosx不存在零點．
  其中正確命題的序號是

   

  （寫出所有正確命題的序號）．
  組卷：21難度：0.5

  解析

• 14．若動點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別在直線l₁：2x+y-7=0和l₂：2x+y-5=0上移動，則AB的中點到原點的距離的最小值為

  ．
  組卷：127引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 15．某學校開展了一項“摸球過關”的游戲，規則如下：不透明的盒子中有3個黑球，2個白球．這些球除顏色外完全相同，闖關者每一輪從盒子中一次性取出3個球，將其中的白球個數記為該輪得分X，記錄完得分后，將摸出的球全部放回盒子中，當闖關者完成第n輪游戲，且其前n輪的累計得分恰好為n時，游戲過關，同時游戲結束，否則繼續參與游戲：若第3輪后仍未過關，則游戲也結束．每位闖關者只能參加一次游戲．
  （1）求隨機變量X的分布列及數學期望；
  （2）若某同學參加該項游戲，求他能夠過關的概率．
  組卷：131難度：0.5

  解析

• 16．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，DA⊥AB，AB∥DC，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2AD=2DC，E、F分別為PB與PD的中點．
  （1）證明：EF∥平面ABCD；
  （2）求直線PA與平面PBC所成角的正切值．
  組卷：104引用：2難度：0.6

  解析

• 17．已知f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數，當x∈[0，4]時，f（x）=2^x-4^x．
  （1）求f（x）在[-4，0）上的解析式；
  （2）若不等式

  f

  （

  x

  ）

  ≤

  m

  2

  x

  在x∈[-2，-1]時恒成立，求實數m的取值范圍．
  組卷：12難度：0.5

  解析

• 18．在△ABC中，D為BC上一點，AD=CD，BA=7，BC=8．
  （Ⅰ）若B=60°，求△ABC外接圓的半徑R；
  （Ⅱ）設∠CAB-∠ACB=θ，θ∈（0，

  π

  2

  ），若

  sinθ

  =

  3

  3

  14

  ，求△ABC面積．
  組卷：151引用：1難度：0.6

  解析

• 19．已知點M，N的坐標分別是（0，2）和（0，-2），點P是二次函數

  y

  =

  1

  8

  x

  2

  的圖象上的一個動點．
  （1）判斷以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-2的位置關系，并說明理由；
  （2）設直線PM與二次函數

  y

  =

  1

  8

  x

  2

  的圖象的另一個交點為Q，連接NP，NQ，求證：∠PNM=∠QNM；
  （3）過點P，Q分別作直線y=-2的垂線，垂足分別為H，R，取RH中點為E，求證：QE⊥PE．
  組卷：12難度：0.1

  解析